Paraboles, escaliers, nombres polygonaux, et conjectures

Recherche de \( f \) telle que \( f(x) + f(y) = f(1) \)

Après avoir remarqué que la droite, le cercle et l'hyperbole avaient tous trois une équation de la forme \( f(x) + f(y) = f(1) \) si l'on choississait bien ses axes, je me suis mis en tête de chercher une fonction \( f \) qui conviendrait pour la parabole et qui viendrait compléter ma collection.

La question se posa alors de savoir quelle parabole considérer. Hormis le fait qu'elle devait posséder l'axe de symétrie \( y = x \), j'avais le choix. Je considérai alors en premier la parabole d'équation \( (x-y)^2 + 1 = 2(x+y) \) car je me souvenais lors de précédentes recherches qu'elle avait un côté sympa. Je démontrai alors qu'aucune \( f \) ne peut exister telle que \( f(x) + f(y) = f(1) \) soit une équation de cette parabole. Je me tournai alors vers la parabole d'équation \( (x-y)^2 = (x+1) \), et ... même résultat. Aucune \( f \) ne convient. Dans les deux cas, la raison de cette impossibilité est la suivante :

Le point \( M_0 = (x_0, y_0) = (1,0) \) est situé sur la courbe. Un point \( M'_0 \) situé à la verticale de \( M_0 \) est lui aussi sur la courbe. Notons les coordonnées de \( M'_0 \) : \( (x_0, y'_0) \). Par symétrie d'axe \( y = x \), le point \( M_1 = (y'_0, x_0) \) appartient lui aussi à la courbe. On peut poser, par définition, \( x_1 = y'_0 \) et \( y_1 = x_0 \) de telle sorte que, naturellement, \( M_1 = (x_1, y_1) \). On recommence le même processus : partant de \( (x_1, y_1) \), on obtient \( (x_1, y'_1) \) puis \( (x_2, y_2) \), ..., et pour tout \(n\), \( (x_n, y'_n) \), \( (x_{n+1}, y_{n+1}) \), ... On voit bien sur le schéma en zigzag ci-contre que la suite \( (x_n)_{n\in\mathbb{N}} \) est strictement croissante, ce que confirme le calcul. En supposant que \( f \) existe, on a, à chacune de ces étapes : \( f(x_n) + f(y_n) = f(1) \), autrement dit, \( f(x_n) + f(x_{n-1}) = f(1) \) ; \( f(x_n) + f(y'_n) = f(1) \), autrement dit, \( f(x_n) + f(x_{n+1}) = f(1) \) ; Ce qui donne immédiatement \( f(x_{n-1}) = f(x_{n+1}) \) Ainsi donc \( f(x_0) = f(x_2) = f(x_4) = \dots \) et \( f(x_1) = f(x_3) = f(x_5) = \dots \) ; En particulier, cela signifie que tous les points \( (x_0, x_{2n+1}) \) satisfont l'équation : \( f(x_0) + f(x_{2n+1}) = f(1) \) Donc tous ces points seraient sur la courbe, Or ils ne peuvent pas tous y être (pas plus de 2 points d'intersection entre une parabole et d'une droite verticale !) Il y a donc une contradiction et il faut conclure que \( f \) n'existe pas.

Remarque : de manière équivalente, la suite des \( (x_n)_{n \in \mathbb{N}} \) s'obtient par le traçage d'un escalier. On considère l'abscisse, \( 1 \), du premier point \( (1, 0) \) situé sur la branche basse de la parabole, puis l'ordonnée du point de même abscisse situé sur la branche haute, puis l'abscisse du point de même ordonnée situé sur la branche basse, et ainsi de suite

Donc au final, \( f \) n'existe pas. Un résultat un peu décevant, certes, mais comment ne pas avoir remarqué au passage que :

• dans le cas de la courbe d'équation \( (x-y)^2 = (x+y) \), la suite des \( (x_n)_{n\in\mathbb{N}} \) était celle des nombres triangulaires ? \( 1, 3, 6, 10, 15, \dots \) ;
• dans le cas de la courbe d'équation \( (x-y)^2 + 1 = 2(x+y) \), la suite des \( (x_n)_{n\in\mathbb{N}} \) était celle des nombres carrés ? \( 1, 4, 9, 16, 25, \dots \) ?

Voilà qui est intéressant en soi...

Hybridation des deux paraboles et généralisation aux nombres polygonaux

Introduisons un paramètre \( t \) et considérons la courbe dont l'équation est un hybride des équations que nous venons de voir, \( (1-t) \times \boxed{(x-y)^2 = (x+y)} + t \times \boxed{(x-y)^2 + 1 = 2(x+y)} \) pour ainsi dire. Il s'agit là d'une façon classique de définir un barycentre.

Cela donne, après simplifications triviales :

Parachutons alors un changement de variable : posons \( t = k - 3 \). Il en découle que notre équation de courbe hybride devient :

J'admettrai que par le processus d'escalier vu au paragraphe précédent, nous obtenons les nombres \(k-\)gonaux (= polygonaux, où \( k \) est le nombre de "côtés" du polygone), et ce pour tout \( k \) entier, et même — soyons fous — pour tout \( k \) réel. Illustrons quelques exemples :

\( t = -1 \)	\( t = 0 \)	\( t = 1 \)	\( t = 2 \)	\( t = 3 \)	...
\( k = 2 \)	\( k = 3 \)	\( k = 4 \)	\( k = 5 \)	\( k = 6 \)	...
Nombres "2"-gonaux = les nombres entiers	Nombres 3-gonaux = les nombres triangulaires	Nombres 4-gonaux = les carrés	Nombres 5-gonaux = les nombres pentagonaux	Nombres 6-gonaux = les nombres hexagonaux	...
					...
\( 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, \dots \) (OEIS A000027)	\( 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, \dots \) (OEIS A000217)	\( 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, \dots \) (OEIS A000290)	\( 1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, \dots \) (OEIS A000326)	\( 1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120, \dots \) (OEIS A000384)

Grâce à ces représentations graphiques de courbes, on visualise aussi le fait que pour \( k \neq 1 \) et entier, il existe d'autres points de coordonnées entières, dont l'escalier commence non pas en \( (1, 0) \) mais en \( (t, 0) \).

Par exemple, pour \( k = 5 \) , commencer l'escalier en \( (2, 0) \) permet d'obtenir la suite de nombres : \( 2, 7, 15, 26, 40, 57, 77, 100, \dots \) (OEIS A005449) dits nombres pentagonaux secondaires.

Recherche du \( k \) dont la parabole associée passe par un point de coordonnées entières donné

Il est souvent amusant de prendre un problème à l'envers. Et ici, je trouvai amusant de chercher, non plus quels points de coordonnées entières étaient présents sur une parabole donnée, mais quelle parabole pouvait passer par un point de coordonnées entières \( (x, y) \) donné. L'équation à résoudre n'a pas changé, c'est :

Toutefois, \( x \) et \( y \) sont ici des constantes données et c'est \( k \) l'inconnue. L'équation est simplement du 1er degré, et sa solution est :

Vérification : quel \( k \) pour le point \( (3, 6) \) ?

Oui ! \( 3 \) et \( 6 \) étant deux nombres triangulaires consécutifs, \( k = 3 \) était bien le résultat attendu.

Dressons un tableau à double entrée donnant la valeur de \( k \) en fonction de \( x \) et de \( y \) et colorons la case si le résultat est un entier :

Nombre de cases colorées sur une antidiagonale du tableau

Toujours à l'affut pour créer une entrée sur OEIS, je définis une suite \( (a(n))_{n \in \mathbb{N}} \), avec \( a(n) \) = le nombre de cases colorées sur la \( n \) -ième antidiagonale du tableau ci-dessus.

Repartons de l'équation

et adaptons-la au fait que nous cherchons \( a(n) \), nombre de cases à valeurs entières sur l'antidiagonale numéro \( n \), d'équation \( x + y = n + 1 \). On peut donc substituer \( \boxed{n} \) à \( \boxed{x + y - 1} \), \( \boxed{n + 1} \) à \( \boxed{x + y} \) ; ce qui donne :

\( y \) valant \( n + 1 - x \), \( x - y \) vaut \( 2x - n - 1 \), et donc

Il y a autant de valeurs de \( k \) entières que de valeurs de \( \frac{4(x-1)x}{n} \) entières, pour \( x \) allant de \( 1 \) à \( n \).

Petit programme en PARI

a(n)=c=0;for(x=1,n,if(4*(x-1)*x%n==0,c++));c
for(n=1,64,print1(a(n),", "))
			

Conjectures

Conjecture n°1 : quel que soit \( n \), \( a(n) \) est une puissance de \( 2 \).

Conjecture n°2 : quel que soit \( n \),

où

• \( \nu_2 \) est fonction 2-valuation, celle qui à \( n \) associe l'exposant de \( 2 \) dans la décomposition de \( n \) en facteurs premiers ;
• \( \omega \) est la fonction qui à \( n \) associe le nombre de nombres premiers présents dans la décomposition de \( n \) en facteurs premiers (sans multiplicité) ;
• la notation d'une condition entre crochets, \( [ \) condition \( ] \), est celle d'Iverson, expression s'évaluant à 1 si la condition est vraie, à 0 sinon ; notation généralement utilisée dans un produit comme garde fou (et c'est le cas ici) pour ne pas évaluer le multiplicande de droite si la condition n'est pas satisfaite ;
• la notation \( a | b \) signifie "a divise b" ;

Conjecture vérifiée par ordinateur pour \( 1 \leq n \leq 100000 \).

Shadow transform

à creuser... lien probable avec ce qui est dit sur la page https://oeis.org/wiki/Shadow_transform ... Et il semblerait que la suite A000522 mentionnée sur ma page perso fcontinue.html ait aussi un rapport avec ça. Il faut que je me penche sur les écrits de L. Halbeisen...

LR, 01/02/2020.