Soit \( (a_n)_{n \in \mathbb{N}} \) la suite définie par : \[ a_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{n!}{k!} \] Sur OEIS : a = A000522
Soit \( f \) la fonction définie comme suit :
quel que soit \( n \in \mathbb{N} \), quel que soit \( x \in \left [ 1 - \frac{1}{a_n}, 1 - \frac{1}{a_{n+1}} \right[ \), \[ f(x) = f_n(x) = a_n \frac{x^n}{n!} \] et \[ f(1) = e \]
\( f \) est continue sur \( \left [ 0, 1 \right ] \).
Appelons pour tout \(n\), \[ x_{n} = 1 - \frac{1}{a_n} \] Une propriété de la suite \( a \) est que : \[ a_{n+1} = (n + 1) \times a_n + 1 \] D'où l'on tire que : \[ 1 - \frac{1}{a_{n + 1}} = \frac{a_{n+1} - 1}{a_{n + 1}} = \frac{((n + 1) \times a_n + 1) - 1 }{a_{n + 1}} = (n + 1) \frac{a_n}{a_{n + 1}} \] \[ x_{n+1} = (n + 1) \frac{a_n}{a_{n + 1}} \]
Sur chaque intervalle \( \left [ x_n , x_{n+1} \right[ \), \( f \) est \( f_n \), une fonction polynôme, donc elle y est continue.
En chaque \( x_{n+1} \), par la gauche : \[ f_n(x_{n+1}) = a_n \frac{\left((n + 1) \frac{a_n}{a_{n + 1}}\right)^n}{n!} = \frac{(n + 1)^n}{n!} \times \frac{a_n^{n+1}}{a_{n+1}^n} \] Tandis que par la droite : \[ f_{n+1}(x_{n+1}) = a_{n+1} \frac{\left((n + 1) \frac{a_n}{a_{n + 1}}\right)^{n+1}}{(n+1)!} = \frac{(n + 1)^n}{n!} \times \frac{a_n^{n+1}}{a_{n+1}^n} \] Les deux quantités sont égales, \[ f_n(x_{n+1}) = f_{n+1}(x_{n+1}) \] Par conséquent, \( f \) est continue aux points de jonction des différents intervalles également, ce qui donne la continuité sur tout \( \left [ 0, 1 \right [ \).
Nous allons démontrer que la suite \( (x_n)_{n \in \mathbb{N}} \), qui tend vers \( 1 \), est telle que sa suite image \( (y_n)_{n \in \mathbb{N}} \), où \( y_n = f(x_n) \), tend vers \( e \).
Les calculs du paragraphe précédent ont montré que \[ y_{n+1} = f(x_{n+1}) = \frac{(n + 1)^n}{n!} \times \frac{a_n^{n+1}}{a_{n+1}^n} \] L'expression peut être transformée en : \[ y_{n+1} = \frac{a_n}{n!} \times \frac{1}{\left(1+\frac{1}{(n+1) a(n)}\right)^n} \] Le ratio \( \frac{a_n}{n!} \) tendant vers \( e \), il ne reste qu'à démontrer que \( \left(1+\frac{1}{(n+1) a(n)}\right)^n \) tend vers \( 1 \). Une façon de procéder est de dire : \[ a_n \gt n! \] \[ (n+1) a_n \gt n! \] \[ \frac{1}{(n+1) a_n} \lt \frac{1}{n!} \] \[ 1 + \frac{1}{(n+1) a_n} \lt 1 + \frac{1}{n!} \] \[ \left(1 + \frac{1}{(n+1) a_n}\right)^n \lt \left(1 + \frac{1}{n!} \right)^n \] \[ \left(1 + \frac{1}{(n+1) a_n}\right)^n \lt \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} 1^{n-k} \left(\frac{1}{n!}\right)^k = \sum_{k=0}^n \frac{\binom{n}{k}}{n!^k}\] \[ \left(1 + \frac{1}{(n+1) a_n}\right)^n \lt 1 + \frac{n}{n!} + \sum_{k=2}^n \frac{\binom{n}{k}}{n!^k} = 1 + \frac{n}{n!} + \sum_{k=2}^n \frac{n!}{k! (n-k)! n!^k} \] \[ \left(1 + \frac{1}{(n+1) a_n}\right)^n \lt 1 + \frac{n}{n!} + \sum_{k=2}^n \frac{1}{k! (n-k)! n!^{k-1}} \] Quel que soit \( k \geq 2 \), \( \frac{1}{k!} \leq \frac{1}{2} \), \( \frac{1}{(n-k)!} \leq \frac{1}{1} \) et \( \frac{1}{n!^{k-1}} \leq \frac{1}{n!} \), ce qui permet d'écrire : \[ \left(1 + \frac{1}{(n+1) a_n}\right)^n \lt 1 + \frac{n}{n!} + \sum_{k=2}^n \frac{1}{2 \times 1 \times n!} \] \[ \left(1 + \frac{1}{(n+1) a_n}\right)^n \lt 1 + \frac{n}{n!} + \frac{n-1}{2} \times \frac{1}{n!} \] \[ \left(1 + \frac{1}{(n+1) a_n}\right)^n \lt 1 + \frac{P(n)}{n!} \] où \( P(n) \) est un polynôme en \(n \) négligeable devant \( n! \) ; \( \frac{P(n) }{n!} \) tend vers 0. Par conséquent \[ \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{(n+1) a_n}\right)^n = 1 \] Et le résultat, \[ \lim_{n \to \infty} y_{n+1} = e \] \[ \lim_{x \to 1} f(x) = e \] (il y a probablement plus simple comme démonstration)
LR, 15/10/2019.