Quand je vois des formules telles que :
\[ \cos(z) = \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2} \] \[ \sin(z) = \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i} \] \[ \cosh(z) = \frac{e^{z} + e^{-z}}{2} \] \[ \sinh(z) = \frac{e^{z} - e^{-z}}{2} \]je me dis qu'on peut définir, pour tout paramètre \( w \in \mathbb{C} \), une paire de fonctions \( (c_w, s_w) \) comme suit :
\[ c_w(z) := \frac{e^{wz} + e^{-wz}}{2} \] \[ s_w(z) := \frac{e^{wz} - e^{-wz}}{2w} \mbox{si } w \neq 0 \] \[ s_0(z) := z \mbox{ par continuité} \]Il est aisé de vérifier que :
\( c_1 = \cosh \)
\( s_1 = \sinh \)
\( c_i = \cos \)
\( s_i = \sin \)
quel que soit \( w \), \( c_w \) est une fonction paire.
quel que soit \( w \), \( s_w \) est une fonction impaire.
la fonction \( c : w \mapsto c_w \) est une fonction paire.
la fonction \( s : w \mapsto s_w \) est une fonction paire.
en particulier, \( c_{-1} = \cosh, s_{-1} = \sinh, c_{-i} = \cos, s_{-i} = \sin \).
quel que soit \( w \), \( c_w^2 - w^2 s_w^2 = 1 \)
On peut représenter les fonctions \( c_w \) et \( s_w \) avec la technique de "coloration du domaine".
Voici ce que cela donne pour \( s_{\exp(i\theta)} \) avec \( \theta \) variant de \( 0 \) à \( \pi \) : une animation cyclique :
avec pour légende (la coloration du domaine pour la fonction identité) :
LR, 23/10/2022.