Probabilités arithmétiques

Un concept liant probabilités et arithmétique m'intrigue. Du point de vue des notations, ça tombe mal de mélanger les deux : p = premier ou p = probabilité ? :)

Supposons que nous soyons la cible d'un missile. Sans protection, nous serions fichus, mais heureusement, nous en avons une, même si cette protection est franchement bizarre : il s'agit d'un nombre, \( n \in \mathbb{N}^* \).

La protection offerte par \( n \) n'est pas parfaite ; elle comporte une part de hasard. Elle dépend de \( n \) de la façon suivante :

on décompose \( n \) en ses facteurs premiers \( p_i \) si bien que \( n = \prod_{i=1}^{k} p_i \). Les \( p_i \) ne sont pas nécessairement distincts et ne sont pas nécessairement rangés dans un ordre. Par exemple, si \(n = 12\), on peut décréter que \( p_1 = 2 \), \( p_2 = 3 \) et \( p_3 = 2 \) ;
pour chaque \( i \), le facteur premier \( p_i \) se comporte comme un anti-missile ayant la probabilité \( f(p_i) \) d'intercepter le missile (et de nous sauver la vie), où \( f \) est une fonction de \( \mathbb{P} \) vers \( [0,1] \) indépendante \( n \);
quels que soient \( i \) et \( j \) distincts, les événements "\( p_i \) intercepte le missile" et "\( p_j \) intercepte le missile" sont indépendants, et ce même si \( p_i = p_j \).

Nous appellerons "résultat", et nous le noterons \( a(n) \), la probabilité de réussite de \( n \), la probabilité d'être sauvé par \( n \).

La protection aléatoire que procure \( n = 12 \)

1. Formule

Pour qu'il y ait réussite globale de l'interception, il suffit que l'un des anti-missiles ait atteint son but => disjonction, OU logique.

Autre façon de voir : notre disjonction (OU logique) est la négation (NON logique) d'une conjonction (ET logique) de négations, si bien que

\( a(n) \) est \( 1 \) moins la probabilité que tous les anti-missiles échouent,

\[ a(n) = 1 - \prod_{i=1}^{k} \left( 1 - f_n(p_i) \right) \]

Cela nous ramène à un calcul de mesure (c'est à dire à celui d'une longueur, d'une aire, d'un volume, ou... bref, la nature exacte de cette mesure dépend de \( k = \mbox{A001222}(n) \) qui joue le rôle d'une dimension).

On peut illustrer cela à l'aide d'un hypercube éclaté (exemple \( k = 3 \), autrement dit un vrai cube et \( n = p_1 p_2 p_3 \) ) :

\( a(n) \) est le volume de la réunion des \( 2^k-1 \) pavés droits élémentaires dont au moins un côté est étiqueté \( f_n(p_i) \).

Le résultat ne dépend pas de la numérotation des axes.

3. La fonction \( a \) est croissante pour l'ordre partiel de divisibilité

\[ m | n \implies a(m) \leq a(n) \]

On écrit \( n = m p_{i+1} p_{i+2} \dots p_k \) ; \( n \) aligne des anti-missiles en plus par rapport à \( m \), toutes choses étant égales par ailleurs.

4. Programmation (PARI)

Plusieurs façons de coder, par exemple

4.1. Prog 1

gpf(n)=if(n>1,vecmax(factor(n)[,1]),1) a(f,n)=if(n==1,0,my(p=gpf(n),t=f(n,p));t+(1-t)*a(f,n/p))

4.2. Prog 2

a(f,n)=my(T=factor(n));1-prod(i=1,#T~,(1-f(n,T[i,1]))^T[i,2])

5. Exemple 1 : \( f_n(p) = \frac{1}{p} \)

for(n=1,10,print1(n, " ", a((n,p)->1/p,n),"\n"))

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
a(n)	\[ 0 \]	\[ \frac{1}{2} \]	\[ \frac{1}{3} \]	\[ \frac{3}{4} \]	\[ \frac{1}{5} \]	\[ \frac{2}{3} \]	\[ \frac{1}{7} \]	\[ \frac{7}{8} \]	\[ \frac{5}{9} \]	\[ \frac{3}{5} \]

Si on multiplie \( a(n) \) par \( n \), on obtient :

\[ ( n a(n) )_{n \in \mathbb{N}} = (0, 1, 1, 3, 1, 4, 1, 7, 5, 6, \dots ) = \mbox{A322582}\]

6. Exemple 2 : \( f_n(p) = \frac{\ln(p)}{\ln(n)} \)

\[ a(1) = 0 \] \[ \forall p \in \mathbb{P}, a(p) = 1 \] \[ \forall p \in \mathbb{P}, a\left(p^2\right) = \frac{3}{4} \] \[ \forall p \in \mathbb{P}, a\left(p^3\right) = \frac{19}{27} \] \[ \forall p \in \mathbb{P}, \forall k \in \mathbb{N}, a\left(p^k\right) = 1 - \left (1 - \frac{1}{k} \right)^k = \frac{\mbox{A045531}(k)}{k^k} \] \[ \forall p \in \mathbb{P}, \lim_{k \to +\infty} a\left(p^k\right) = 1 - \frac{1}{e} \approx 0.6321205588\]

Dans le cas général, \( n = p_1 p_2 \dots p_k \),

\[ a(n) = 1 - \prod_{i=1}^k \left ( 1 - \frac{\ln(p_i)}{\ln(n)} \right ) \] \[ a(n) = 1 - \prod_{i=1}^k \left ( \frac{\ln(n) - \ln(p_i)}{\ln(n)} \right ) \] \[ a(n) = 1 - \prod_{i=1}^k \left ( \frac{\sum_{j} \ln(p_j) - \ln(p_i)}{\ln(n)} \right ) \] \[ a(n) = 1 - \frac{1}{\ln^k(n) } \prod_{i} \left ( \sum_{j \ne i} \ln(p_j) \right ) \] \[ a(n) = \frac{\ln^k(n)}{\ln^k(n)} - \frac{1}{\ln^k(n) } \prod_{i} \left ( \sum_{j \ne i} \ln(p_j) \right ) \] \[ a(n) = \frac{1}{\ln^k(n)} \left ( \left ( \sum_i \ln (p_i) \right ) ^k - \prod_{i} \left ( \sum_{j \ne i} \ln(p_j) \right ) \right ) \] \[ a(n) = \frac{1}{\ln^k(n)} \left ( \left ( \sum_{v_1+v_2+\dots+v_k=k} \binom{k}{v_1,v_2,\dots,v_k} \prod_{i} \ln^{v_i} (p_i) \right ) - \prod_{i} \left ( \sum_{j \ne i} \ln(p_j) \right ) \right ) \]

Où cela nous mène-t-il ?

A POURSUIVRE...

LR, 10/01/2023.