Soient \( a \) et \( f \) les fonctions définies par :
Notre propos dans cet article est de démontrer que \( a \) est bien définie et que \( a(n) = f(n) \) pour tout \( n \).
Soit \( n \) un entier et supposons qu'il existe un entier \( k \) tel que \( k^2 - 1 \) puisse être écrit comme la somme de \( n \) nombres premiers.
\[ k^2 - 1 = p_1 + p_2 + \dots + p_n \]Chaque nombre premier \( p_i \) est évidemment \( \geq 2 \). Leur somme vérifie donc :
\[ k^2 - 1 \geq 2 + 2 + \dots + 2 = n \times 2 = 2n \]Il vient donc :
\[ k \geq \sqrt{2n + 1} \]\( k \) étant un entier, on peut arrondir cette inégalité à l'entier supérieur, et il vient :
\[ k \geq \left \lceil \sqrt{2n + 1} \right \rceil \]Mais ce dernier résultat est la transcription exacte du fait que :
\[ k \geq f(n) \]Ce qui est vrai pour tout \( k \) est en particulier vrai pour le plus petit d'entre eux ; et donc, si \( a(n) \) existe, alors :
\[ a(n) \geq f(n) \] \[ \tag*{$\Box$} \]Les premières valeurs de \( f(n) \) sont :
On remarque un motif dans la suite des \( f(n) \) : elle est constante par paliers de longueurs \( 1, 1, 3, 3, 5, 5, \dots \). Le premier palier commence à \( 1 \), et chaque nouveau palier augmente la valeur de \(f \) de \( 1 \).
Par conséquent, on peut voir \( f(n) \) comme le numéro du bloc qui contient la case numérotée \( n \) dans le schéma suivant :
Sur ce schéma, partons d'une case numérotée \( n \) et posons-nous la question : quel est le numéro de la case située juste en dessous ? Appelons ce numéro \( \sigma(n) \), avec la signification "successeur" de \( n \). Nous avons par exemple :
\[ \sigma(0) = 4 \] \[ \sigma(27) = 45 \]Peut-on trouver une formule qui explicite la valeur de \( \sigma(n) \) en fonction de \( n \) ? Eh bien oui, et cette formule est :
\[ \sigma(n) = n + 2 \left ( f(n) + 1 \right) \]Appelons ppartition de \( n \) (avec deux "p") toute partition de \( f(n)^2 - 1 \) constituée de \( n \) nombres premiers (non nécessairement distincts).
Par exemple, le fait que
\[ 24 = 7 + 5 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 \]prouve que \( (7, 5, 2, 2, 2, 2, 2, 2) \) est une ppartition de \( 8 \) ; en effet on a bien \( f(8)^2 - 1 = 24 \) égal à la somme de ces \( 8 \) nombres premiers.
Nous allons essayer de prouver qu'il existe une ppartition de \( n \) pour tout \( n \). Ainsi, il existera au moins un \( k \) répondant à la définition de \( a(n) \) et \( a \) sera bien définie. Ce \( k \) sera égal à \( f(n) \) ; nul autre \( k \) ne saurait lui être inférieur d'après l'inégalité triviale, ce sera donc gagné.
Faisons figurer sur le schéma de blocs la somme à atteindre pour obtenir des ppartitions. Cette somme étant \( f(n)^2 - 1 \), elle ne dépend que du bloc dans lequel se trouve la case \( n \). Aussi allons nous faire figurer cette information au niveau de chaque bloc (et non pas au niveau de chaque case), entre parenthèses :
Les ppartitions ont la propriété suivante :
| si pour un entier \( n \) donné il existe une ppartition de \( n \), alors il existe une ppartition de \( \sigma(n) \). |
Preuve : soit \( n \) un entier pour lequel il existe une ppartition de \( n \). Il existe \( n \) nombres premiers \( p_i \) (non nécessairement distincts) tels que :
\[ f(n)^2 - 1 = p_1 + p_2 + \dots + p_n \]On peut ajouter de part et d'autre de cette égalité la quantité \( 4 (f(n) + 1) \), ce qui donne :
\[ f(n)^2 - 1 + 4 (f(n) + 1) = p_1 + p_2 + \dots + p_n + 4 (f(n) + 1) \]Nous prétendons que cette dernière égalité peut se réécrire comme suit :
\[ f(\sigma(n))^2 - 1 = p_1 + p_2 + \dots + p_{\sigma(n)} \]Côté droit, il suffit d'écrire que \( 4 (f(n) + 1) = 2 (f(n) + 1) \times 2 = 2 + 2 + \dots + 2 = p_{n+1} + p_{n+2} + \dots + p_{n+2 (f(n) + 1)} = p_{n+1} + p_{n+2} + \dots + p_{\sigma(n)} \), avec \( p_{n+1}, \dots, p_{\sigma(n)} \) tous définis égaux à \( 2 \).
Et donc :
\[ p_1 + p_2 + \dots + p_n + 4 (f(n) + 1) = p_1 + p_2 + \dots + p_n + p_{n+1} + p_{n+2} + \dots + p_{\sigma(n)} \]Côté gauche :
\[ f(n)^2 - 1 + 4 (f(n) + 1) = f(n)^2 + 4 f(n) + 4 - 1 = (f(n) + 2)^2 - 1 \]\( f(n) + 2 \) est le numéro du bloc situé juste en dessous du bloc qui contient la case numérotée \( n \), c'est donc le numéro du bloc de la case numérotée \( \sigma(n) \). Autrement dit, \( f(n) + 2 = f(\sigma(n)) \) et il vient :
\[ f(n)^2 - 1 + 4 (f(n) + 1) = (f(\sigma(n)))^2 - 1 \]En rassemblant les équations, on obtient donc bien :
\[ f(\sigma(n))^2 - 1 = p_1 + p_2 + \dots + p_{\sigma(n)} \]Il existe donc une ppartition de \( \sigma(n) \), et la propriété d'héritage est démontrée.
\[ \tag*{$\Box$} \]Conséquence : pour démontrer que \( a(n) = f(n) \) pour tout \( n \), il suffit de démontrer que \( a(n) = f(n) \) pour tout \( n \) "aïeul", i.e. pour tout \( n \) qui est le numéro d'une case située au sommet de sa colonne et colorée dans le schéma ci-dessous :
Il y a quatre types d'aïeux :
| \( 0, 2, 8, 18, 32, 50, \dots \) | ce sont les nombres de la forme \( 2 m^2 \) pour \( m \geq 0 \) ; | |
| \( 3, 9, 19, 33, 51, \dots \) | ce sont les nombres de la forme \( 2 m^2 + 1 \) pour \( m \geq 1 \) ; | |
| \( 1, 5, 13, 25, 41, 61, \dots \) | ce sont les nombres de la forme \( 2 m(m+1) + 1 \) pour \( m \geq 0 \) ; | |
| \( 6, 14, 26, 42, 62, \dots \) | ce sont les nombres de la forme \( 2 m(m+1) + 2 \) pour \( m \geq 1 \) ; |
Si \( m = 0 \), alors \( n = 0 \) et la partition vide convient : \( f(0)^2 - 1 = 0 = \) somme de \( 0 \) nombres premiers ;
Si \( m = 1 \), alors \( n = 2 \) et la partition \( f(2)^2 - 1 = 8 = 5 + 3 \) convient ;
Pour \( m \geq 2 \), considérons la somme
\[ \underbrace{3 + 3 + \dots + 3}_{w(m)} + \underbrace{2 + 2 + \dots + 2}_{v(m)} \]avec
Le nombre de nombres premiers figurant dans cette somme est \( v(m) + w(m) \) qui se simplifie en \( 2m^2 \) ;
Le résultat de la somme est \( 2v(m) + 3w(m) \) qui se simplifie en \( 4m(m + 1) \) .
Il se trouve que \( f(2m^2)^2 - 1 = \left \lceil { \sqrt{ 2(2m^2) + 1 } } \right \rceil ^2 - 1 = \left \lceil { \sqrt{ 4m^2 + 1 } } \right \rceil ^2 - 1 = (2m + 1)^2 - 1 = 4 m^2 + 4 m = 4 m(m + 1) \)
Ainsi donc, \( f(2m^2)^2 - 1 \) est la somme de \( 2m^2 \) nombres premiers : il existe une ppartition de \( 2m^2 \).
Pour \( m \geq 1 \), considérons la somme
\[ \underbrace{3 + 3 + \dots + 3}_{w(m)} + \underbrace{2 + 2 + \dots + 2}_{v(m)} \]avec
Le nombre de nombres premiers figurant dans cette somme est \( v(m) + w(m) \) qui se simplifie en \( 2m^2 + 1\) ;
Le résultat de la somme est \( 2v(m) + 3w(m) \) qui se simplifie en \( 4 m (m + 1) \) .
Il se trouve que \( f(2m^2 + 1)^2 - 1 = \left \lceil { \sqrt{ 2(2m^2 + 1) + 1 } } \right \rceil ^2 - 1 = \left \lceil { \sqrt{ 4m^2 + 2 } } \right \rceil ^2 - 1 = (2m + 1)^2 - 1 = 4 m^2 + 4 m = 4 m(m + 1) \)
Ainsi donc, \( f(2m^2 + 1)^2 - 1 \) est la somme de \( 2m^2 + 1 \) nombres premiers : il existe une ppartition de \( 2m^2 + 1\).
Pour \( m \geq 0 \), considérons la somme
\[ \underbrace{3 + 3 + \dots + 3}_{w(m)} + \underbrace{2 + 2 + \dots + 2}_{v(m)} \]avec
Le nombre de nombres premiers figurant dans cette somme est \( v(m) + w(m) = 2m^2 + 2m + 1 = 2 m (m + 1) + 1 \) ;
Le résultat de la somme est \( 2v(m) + 3w(m) \) qui se simplifie en \( 4 (m + 1)^2 - 1 \) .
Il se trouve que \( f(2 m (m + 1) + 1)^2 - 1 = \left \lceil { \sqrt{ 2(2 m (m + 1) + 1) + 1 } } \right \rceil ^2 - 1 = \left \lceil { \sqrt{ 4m^2 + 4 m + 3 } } \right \rceil ^2 - 1 = (2(m + 1))^2 - 1 = 4 (m + 1)^2 - 1 \)
Ainsi donc, \( f(2m(m+1) + 1)^2 - 1 \) est la somme de \( 2m(m+1) + 1 \) nombres premiers : il existe une ppartition de \( 2m(m+1) + 1\).
Pour \( m \geq 1 \), considérons la somme
\[ \underbrace{3 + 3 + \dots + 3}_{w(m)} + \underbrace{2 + 2 + \dots + 2}_{v(m)} \]avec
Le nombre de nombres premiers figurant dans cette somme est \( v(m) + w(m) = 2m^2 + 2m + 2 = 2 m (m + 1) + 2 \) ;
Le résultat de la somme est \( 2v(m) + 3w(m) \) qui se simplifie en \( 4 (m + 1)^2 - 1 \) .
Il se trouve que \( f(2 m (m + 1) + 2)^2 - 1 = \left \lceil { \sqrt{ 2(2 m (m + 1) + 2) + 1 } } \right \rceil ^2 - 1 = \left \lceil { \sqrt{ 4m^2 + 4 m + 5 } } \right \rceil ^2 - 1 = (2(m + 1))^2 - 1 = 4 (m + 1)^2 - 1 \)
Ainsi donc, \( f(2m(m+1) + 2)^2 - 1 \) est la somme de \( 2m(m+1) + 2 \) nombres premiers : il existe une ppartition de \( 2m(m+1) + 2\).
Pour tout entier \( n \), \( a(n) = \left \lceil \sqrt{2n+1} \right \rceil \).
On est en droit de se demander si un nombre \( n \) peut posséder "en propre" des ppartitions, c'est à dire des ppartitions qu'il n'hérite pas. La réponse est oui :
\( 10 \) possède non seulement la ppartition \( 24 = 5 + 3 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 \) héritée de 2 qui possédait déjà \( 8 = 5 + 3 \), mais aussi la ppartition \( 24 = 3 + 3 + 3 + 3 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 \)
Mais il semblerait que ce soit un cas unique ! Si on représente sur le schéma de blocs le nombre de ppartitions possédées en propre par chaque \( n \), on le voit bien :
Par la même occasion, on peut se demander quelles sont ces suites,
Pour cette deuxième suite, on peut remarquer que :
En faisant la combinaison linéaire \( (1) - 2 \times (2) \), on obtient :
\[ (f(n)^2 - 1) - 2 (n) = 4m + 1 - 2 \epsilon \]Rappelons nous du fait que nous nous intéressons à des partitions de \( f(n)^2 - 1 \) constituées de \( n \) nombres premiers, on peut donc poser :
\[ f(n)^2 - 1 = \sum_{i\geq1} n_i p_i \] \[ n = \sum_{i\geq1} n_i \]On a donc :
\[ ( \sum_{i\geq1} n_i p_i ) - 2 (\sum_{i\geq1} n_i) = 4m + 1 - 2 \epsilon \]Mais comme le premier nombre premier, \( p_1 \), vaut \( 2 \), cela se simplifie en :
\[ \sum_{i \gt 1} n_i (p_i - 2) = 4m + 1 - 2 \epsilon \]\( m \) devant valoir, successivement, \( 0, 1, 1, 2, 2, 3, 3, \dots \) (le numéro de la ligne sur le schéma de bloc), et \( \epsilon \) : \( 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, \dots \), nous sommes naturellement invités à poser :
Ainsi,
\[ 4m + 1 - 2 \epsilon = 4 \left \lceil {n \over 2} \right \rceil - 2 \left ( n \mod 2 \right ) + 1 \]Or \( 2 \left \lceil {n \over 2} \right \rceil - \left ( n \mod 2 \right ) = n \). Tout cela se simplifie donc en :
\[ 4m + 1 - 2 \epsilon = 2n + 1 \]Et finalement,
\[ \sum_{i \gt 1} n_i (p_i - 2) = 2n + 1 \]La suite \( 1, 2, 3, 4, 7, 10, 13, 20, 26, 34, 48, 61, 78, 103, 129, \dots \) peut donc être définie comme suit : \( u(n) \) est le nombre de façons d'exprimer \( 2n + 1 \) comme une somme de parts \( x \) telles que \( x + 2 \) soit un nombre premier impair. (L'analogue de A069259, on a finalement juste remplacé \( 2n \) par \( 2n + 1 \)).
LR, 30/03/2020.