Des opérations à gogo

Partant de \( + \) et \( \times \), je m'interroge sur la possibilité de créer une infinité d'opérations. Pour commencer, changeons de notations et décrétons que

Sentons-nous libres d'écrire comme ceci :

\[ 3 \enclose{circle}{0} 7 = 10 \] \[ 3 \enclose{circle}{1} 7 = 21 \]

0. Idée fondatrice

Qu'est-ce qui lie les opérations \( \enclose{circle}{0} \) et \( \enclose{circle}{1} \) ? On peut avancer que ce sont les fonctions exponentielle ( \( \exp \) ) et logarithme ( \( \ln \) ).

En effet, en passant sous silence les difficultés liées aux ensembles de définition, ces fonctions satisfont les équations fonctionnelles que voici :

\[ a \enclose{circle}{0} b = \ln \left ( \exp (a) \enclose{circle}{1} \exp(b) \right ) \] \[ a \enclose{circle}{1} b = \exp \left ( \ln (a) \enclose{circle}{0} \ln(b) \right ) \]

Pourquoi ne pas essayer d'étendre ces formules par récurrence ?

L'opération \( \enclose{circle}{2} \) serait à l'opération \( \enclose{circle}{1} \) ce que l'opération \( \enclose{circle}{1} \) est à l'opération \( \enclose{circle}{0} \)... Etc.

1. Définitions

Pour tout \( n \geq 1 \), définissons l'opération \( \enclose{circle}{n+1} \) par :

\[ a \enclose{circle}{n+1} b := \exp \left ( \ln (a) \enclose{circle}{n} \ln(b) \right ) \]

Pour tout \( n \leq 0 \), définissons l'opération \( \enclose{circle}{n-1} \) par :

\[ a \enclose{circle}{n-1} b = \ln \left ( \exp (a) \enclose{circle}{n} \exp(b) \right ) \]

2. Ecriture par itérées de la fonction exponentielle

Il est aisé de prouver que

\[ a \enclose{circle}{2} b = \exp \left ( \exp \left ( \ln ( \ln (a)) + \ln(\ln(b)) \right ) \right ) \]

Autre façon de l'écrire, à l'aide du symbole \( \circ \) de composition de fonctions :

\[ a \enclose{circle}{2} b = ( \exp \circ \exp) \left ( (\ln \circ \ln) (a) + ( \ln \circ \ln)(b) \right ) \]

Cela se généralise au moins formellement à tout \( n \in \mathbb{Z} \) en notant \( \exp^{\lt n \gt} \) l'itérée n-ième de \( \exp \), avec \( \exp^{\lt -1 \gt} := \ln \) et \( \exp^{\lt -n \gt} := (\exp^{\lt -1 \gt})^{\lt n \gt} \)

\[ a \enclose{circle}{n} b = \exp^{\lt n \gt} \left ( \exp^{\lt -n \gt}(a) + \exp^{\lt -n \gt} (b) \right ) \]

3. Programmation

3.1. Version récursive


		$ o(a,n,b)=if(n==0,a+b,if(n>0,exp(o(log(a),n-1,log(b))),log(o(exp(a),n+1,exp(b)))))
		$ o(3,0,7)
		10
		$ o(3,1,7)
		21.000000000000000000000000000000000000
		$ o(3,2,7)
		8.4807662245977835027617788015865336541
		$ o(3,3,7)
		2.8997137661738230935902816445034460679
		$ o(3,-1,7)
		7.0181499279178097403549833182877538848
		$ o(3,-2,7)
		7.0000000000000000000000000000000000000
		$ o(3,-3,7)
		exp: overflow in t_REAL->double conversion.

3. Des corps

Supposons que des ensembles \( E_n \) existent, pour lesquels les opérations \( \bbox[gray, 3px, border: 2px solid black]{n} \) et \( \bbox[gray, 3px, border: 2px solid black]{n+1} \) sont simultanément bien définies, i.e. partent de \( E_n \times E_n \) et atterrissent dans \( E_n \).

Si \( (E_n, \bbox[gray, 3px, border: 2px solid black]{n}, \bbox[gray, 3px, border: 2px solid black]{n+1} ) \) est un corps, alors \( (E_{n+1}, \bbox[gray, 3px, border: 2px solid black]{n+1}, \bbox[gray, 3px, border: 2px solid black]{n+2} ) \) est en très bonne voie pour être lui aussi un corps.

A poursuivre...

LR, 07/12/2021.