Nombres de Lah

Je suis tombé un peu par hasard sur un tableau de nombres déjà connu, les nombres de Lah, cf. A271703. Voici comment.

Supposons qu'il existe une fonction \( f \) (ou à défaut une série formelle) satisfaisant l'équation \((E_1)\) :

(à vrai dire, inspiré par le livre "Umbral Calculus" de S.Roman, je cherchais une "delta series" auto-référentielle et c'est celle-ci qui m'est venue à l'esprit)

Que se passe-t-il si on injecte le membre de droite de \( (E_1) \) dans le membre de droite de \( (E_1) \) ?		\[ \begin{array}{lcl} f(t) & = & t + t^2 \left ( t + t^2 f'(t) \right )' \\ & = & t + t^2 \left ( 1 + 2t f'(t) + t^2 f''(t) \right) \\ & = & t + t^2 + 2t^3 f'(t) + t^4 f''(t) \\ \end{array} \] On obtient une équation \( (E_2) \), \[ \begin{array}{lcl} f(t) & = & t + t^2 + 2t^3 f^{(1)}(t) + t^4 f^{(2)}(t) \\ \end{array} \] (la notation \( f^{(k)} \) désigne la dérivée \( k \)-ième de \( f \))
Injectons le membre de droite de \( (E_1) \) dans le membre de droite de \( (E_2) \),	\[ \begin{array}{lcl} f(t) & = & t + t^2 + 2t^3 \left( t + t^2 f'(t) \right)^{(1)} + t^4 \left( t + t^2 f'(t) \right)^{(2)} \\ & = & t + t^2 + 2t^3 \left( 1 + 2t f'(t) + t^2 f''(t) \right) + t^4 \left( 1 + 2t f'(t) + t^2 f''(t) \right)^{(1)} \\ & = & t + t^2 + 2t^3 \left( 1 + 2t f'(t) + t^2 f''(t) \right) + t^4 \left( 2 f'(t) + 2t f''(t) + 2t f''(t) + t^2 f'''(t) \right) \\ & = & t + t^2 + 2t^3 \left( 1 + 2t f'(t) + t^2 f''(t) \right) + t^4 \left( 2 f'(t) + 4t f''(t) + t^2 f'''(t) \right) \\ \end{array} \] On obtient une équation \( (E_3) \), \[ \begin{array}{lcl} f(t) & = & t + t^2 + 2t^3 + 6t^4 f^{(1)}(t) + 6t^5 f^{(2)}(t) + t^6 f^{(3)}(t) \\ \end{array} \]
et ainsi de suite, on injecte le membre de droite de \( (E_1) \) dans le membre de droite de \( (E_n) \), on simplifie, et on obtient \( (E_{n+1}) \).

On constate alors que l'équation \( (E_n) \) est toujours de la forme :

avec \( L_{n,k} \) un coefficient entier positif, pour tous \( (n,k) \in \mathbb{N}^{*} \times \mathbb{N}^{*} \).

Ces coefficients se rangent dans un tableau triangulaire, comme suit :

et étant donné que \( n \ne 0 \) et \( k \ne 0 \), c'est davantage de A105278 dont il est question pour le moment.

Pour démontrer que ces nombres sont les nombres de Lah, voici l'esquisse de ma démonstration :

• si \( f(t) \) est une série formelle, alors elle ne peut être que \( \sum_{k=1}^{\infty} (k-1)! t^k \) ;
• \( ( t + t^2 f'(t) )^{(k)} \) est de la forme \( \sum_{i=0}^{2} \alpha_{k,i} t^i f^{(k-1+i)} \), avec toutefois ici la convention inhabituelle que \(f^{(0)}\) est la fonction constante \( 1 \) ;
• les coefficients \( \alpha_{k,i} \) s'expriment simplement en fonction de \( k \) et \( i \), cela est démontrable par récurrence,
  • \( \alpha_{k,0} = \delta_{k}^{1} + k (k - 1) \)
  • \( \alpha_{k,1} = 2k \)
  • \( \alpha_{k,2} = 1 \)
• par récurrence toujours, \( f(t) \) est de la forme \( \sum_{k=1}^{n} (k-1)! t^k + \sum_{k=1}^{n} L_{n,k} t^{n+k} f^{(k)}(t) \) et les coefficients \( L_{n,k} \) satisfont la relation de récurrence
  • \( L_{n,k} = L_{n-1,k-1} + 2k L_{n-1,k} + k(k +1)L_{n-1,k+1} \)
• cette relation de récurrence est l'une de celles qui définissent ou caractérisent les nombres de Lah. □

On peut enjoliver en remarquant que \( f(t) - \sum_{k=1}^{n} (k-1)! t^k = \sum_{k=n+1}^{\infty} (k-1)! t^k \) est le "reste" de la série \( f(t) \) (les guillemets parce que la série est divergente...). Cela invite à définir :

Avec cette notation,

Encore un petit effort notationnel permet d'élargir le domaine de validité de la formule précédente d'une ligne et d'une colonne supplémentaires ; il suffit de poser :

Or, ces conventions complémentaires sont bien celles de A271703,

On a donc la jolie formule :

(formule dans laquelle \( f_0^{(0)} \) a repris son sens plus conventionnel de dérivée \( 0 \)-ième de \(f_0\), c'est donc bien \( f_0 \) ; fort heureusement car ainsi la formule pour \( n = 0 \) se réduit à la tautologie \( f_0(t) = f_0(t) \))

Rappelons que la formule du binôme de Newton est :

Il y a nette ressemblance. Mais ce n'est pas si surprenant, tout ceci étant très ombral...

LR, 28/12/2020.