Une idée foireuse me taraude depuis quelque temps, la possible connexion entre la recherche de solutions à une équation du type \( f(x) = 0 \), et le calcul d'une intégrale logarithmique.
Soit \( f \) une fonction définie sur un intervalle \( [ a, b ] \) réel, satisfaisant \( f(x) \geq 0 \) sur \( [ a, b ] \), et dont on souhaite savoir si elle s'annule sur \( [ a, b ] \).
Mon idée est de subdiviser l'intervalle \( [ a, b ] \), un peu comme ce qui est fait lorsqu'on définit l'intégrale de Riemann, et de dire qu'un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul. On peut par exemple subdiviser \( [ a, b ] \) en \( n \) intervalles égaux de longueur \( (b - a) / n \), et définir
\[ p(n) = \prod_{k=1}^n f\left(a + k \frac{b-a}{n} \right) \]Bien entendu, rien ne garantit qu'un \( x_0 \) satisfaisant \( f(x_0) = 0 \) fasse partie de la liste des \( a + k \frac{b-a}{n} \). Néanmoins, si \( n \) est assez grand, et si \( f \) est assez régulière (continue ?), on est en droit d'espérer que certains \( a + k \frac{b-a}{n} \) soient assez proches de \( x_0 \) pour que leurs images par \( f \) soient assez proches de 0 et "pèsent" dans la balance pour que \( p(n) \) tende vers 0...
Mais alors, peut-être en est-il de même de la moyenne géométrique de tous ces facteurs, autrement dit de la racine énième de \( p(n) \) ?
\[ \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{p(n)} = \lim_{n \to \infty } \sqrt[n] { \prod_{k=1}^n f\left(a + k \frac{b-a}{n} \right) } = 0 ? \]Prenons alors le logarithme de cette expression, nous obtenons :
\[ \ln \left( \lim_{n \to \infty } \sqrt[n] { \prod_{k=1}^n f\left(a + k \frac{b-a}{n} \right) } \right) = - \infty ? \]Comme je n'en suis pas à une horreur honteuse mathématique près, permettez-moi de commuter \( ln \) et \( \lim \) !
\[ \lim_{n \to \infty } \ln \left( \sqrt[n] { \prod_{k=1}^n f\left(a + k \frac{b-a}{n} \right) } \right) = - \infty ? \] \[ \lim_{n \to \infty } \frac { \sum_{k=1}^{n} \ln \left( f\left(a + k \frac{b-a}{n} \right) \right) }{n} = - \infty ? \]On reconnaît, côté gauche, l'intégrale de la fonction \( \ln \left( f \right) \), autrement dit la question est plus ou moins devenue : l'intégrale impropre
\[ \int_a^b \ln \left(f\left(t\right)\right) dt \]diverge-t-elle ?
Ce à quoi il me plairait d'appliquer ces raisonnements fallacieux ? A la recherche des diviseurs d'un nombre \( n \) fixé. Prenons par exemple pour fonction \( f \) l'altitude \( z \), le long d'une hyperbole \( x y = n \), où \( z \) est doublement périodique de période 1 (l'image de la barquette à oeufs).
\[ z(x, y) = \sin^2(\pi x) + \sin^2(\pi y) \]On peut paramétriser l'hyperbole comme suit :
\[ x = n^{\frac{1+t}{2}} \] \[ y = n^{\frac{1-t}{2}} \]pour \( t \) dans l'intervalle \( [ -1, 1 ] \). Ce qui donnerait :
\[ f(t) = \sin^2(\pi n^{\frac{1+t}{2}}) + \sin^2(\pi n^{\frac{1-t}{2}}) \]Et donc que dire de :
\[ \int_{-1}^{1} \ln \left(\sin^2(\pi n^{\frac{1+t}{2}}) + \sin^2(\pi n^{\frac{1-t}{2}}) \right) dt \]LR, 19/11/2019.