La farandole des entiers

Définition

Soit \( k \in \mathbb{N}^{*} \). Appelons \( \mathcal{C}_k \) le cercle de centre \( (0, k) \) et de rayon \( k \). Exemple, \( \mathcal{C}_5 \) :

Appelons \( M_k \) le point mobile — et \( M_k(t) \) sa position à l'instant \( t \) — défini comme suit :

\( M_k \) est astreint à se déplacer sur \( \mathcal{C}_k \) ;
\( M_k \) se déplace à vitesse angulaire constante \( \omega_{k} = \frac{2 \pi}{k} \) dans le sens trigonométrique ;
à l'instant initial, \( M_k(0) = (0, 0) \).

Superposons les \( \mathcal{C}_k \) et les \( M_k \) pour tous les \( k \in \mathbb{N}^{*} \) sur un même schéma (enfin, ici, on se limite à \( 1 \le k \le 24 \)) (pour lancer l'animation, placez votre curseur de souris au dessus du schéma) :

C'est cette animation que j'appelle la "farandole des entiers". Par construction, à l'instant \(t \in \mathbb{N}^{*}\), les \(M_k\) situés en \((0, 0)\) sont ceux pour lesquels \(k\) divise \(t\). Par ailleurs, une équation intéressante rend compte de la position des \(M_k\) à l'instant \(t\), ce que nous allons développer ci-après.

Equation du lieu des \(M_k\) à \( t \) fixé

A un instant \( t \) fixé, quelle est la courbe \( \Gamma(t) \) lieu des points \( M_k(t) \), avec \( k \in \mathbb{R} \) (au lieu de \( k \in \mathbb{N}^{*}\)) ?

Pour calculer l'équation de \( \Gamma(t) \), nous allons utiliser les nombres complexes. La transcription de la définition du point \( M_k(t) \) en affixe complexe \( z_k(t) \) donne : \[ z_k(t) = k e^{i \left(\frac{2 \pi t}{k} - \frac{\pi}{2}\right)} + i k = k \cos\left(\frac{2 \pi t}{k} - \frac{\pi}{2}\right) + i \left(k + k \sin\left(\frac{2 \pi t}{k} - \frac{\pi}{2}\right)\right) \] où \( i = \sqrt{-1} \).

Les formules \( \cos \left( x - \frac{\pi}{2} \right) = \sin \left( x \right) \) et \( \sin \left( x - \frac{\pi}{2} \right) = - \cos \left( x \right) \) donnent alors : \[ z_k(t) = k \sin\left(\frac{2 \pi t}{k} \right) + i \left(k - k \cos\left(\frac{2 \pi t}{k}\right)\right) = k \sin\left(\frac{2 \pi t}{k} \right) + i k \left(1 - \cos\left(\frac{2 \pi t}{k}\right)\right)\]

Et les formules \( \sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x) \) et \( 1 - \cos(2x) = 2 \sin^2(x) \) donnent : \[ z_k(t) = 2 k \sin\left(\frac{\pi t}{k} \right) \cos\left(\frac{\pi t}{k} \right) + 2 k i \left(\sin^2\left(\frac{\pi t}{k}\right)\right) \] \[ z_k(t) = 2 k \sin\left(\frac{\pi t}{k} \right) \left( \cos\left(\frac{\pi t}{k} \right) + i \sin\left(\frac{\pi t}{k} \right)\right) = 2 k \sin\left(\frac{\pi t}{k} \right) e^{i \frac{\pi t}{k}}\]

Cette dernière expression invite à une représentation polaire de \( z_k(t) \), avec :

un angle \( \theta(k,t) = \frac{\pi t}{k} \) ;
un module \( \rho(k,t) = 2 k \sin(\frac{\pi t}{k}) \), à condition d'accepter le fait qu'un module puisse être négatif ;
une équation polaire \( \rho(k,t) = 2 k \sin( \theta(k,t) ) \)

Pour finir, \[ \rho(k,t) = 2 k \sin\left(\frac{\pi t}{k}\right) = 2 k \frac{\pi t}{\pi t} \sin\left(\frac{\pi t}{k}\right) = 2 \pi t \frac{\sin\left(\frac{\pi t}{k}\right)}{\frac{\pi t}{k}} = 2 \pi t \cdot \mbox{sinc}\left( \frac{\pi t}{k}\right) \] où \( \mbox{sinc} \) est la fonction sinus cardinal. Nous avons donc l'équation polaire de \( \Gamma(t) \) : \[ \rho = 2 \pi t \cdot \mbox{sinc}(\theta) \]

De toute évidence, \( \Gamma(t) \) est l'image de \( \Gamma(1) \) par homothétie de centre l'origine et de rapport \(t\). \( \Gamma(1) \) est représentée ci-dessous :

Elucubrations dûes à l'apparition inattendue d'un sinus cardinal :

le fait que \( \mbox{sinc} \) soit une transformée de Fourier (de la fonction porte) a-t-il un sens profond ?
y a-t-il un rapport entre l'arithmétique (diviseurs, ...) et certains phénomènes physiques (expérience des fentes d'Young, ...) ?

LR, 22/09/2019

EDIT 10/10/2021 : je viens d'apprendre que cette courbe porte un nom : la cochléoïde.