... et autres idées qui en ont découlé.
Soit \( (w_n)_{n \in \mathbb{N}} \) une suite de nombres telle que le premier terme \( w_0 \) soit nul. Soit \( x \) une inconnue. Intéressons-nous à la suite \( (a_n)_{n \in \mathbb{N}} \) de fractions rationnelles en \( x \) définie par :
\[ \forall n \in \mathbb{N}, \sum_{k=0}^n \frac{a_k}{1 + w_{n-k} x} = 1 \]On supposera les \( w_n \) distincts pour que les \( 1 + w_n x \) le soient. Commençons par tâtonnements.
Pour \( n = 0 \),
\[ \frac{a_0}{1 + w_{0} x} = 1 \] \[ \bbox[white, 10px, border: 3px solid black]{ a_0 = 1 } \]Pour \( n = 1 \),
\[ \frac{a_0}{1 + w_{1} x} + \frac{a_1}{1 + w_{0} x} = 1 \] \[ a_1 = 1 - \frac{a_0}{1 + w_{1} x} = 1 - \frac{1}{1 + w_{1} x} \] \[ \bbox[white, 10px, border: 3px solid black]{ a_1 = \frac{w_1 x}{1 + w_{1} x} } \]Pour \( n = 2 \),
\[ \frac{a_0}{1 + w_{2} x} + \frac{a_1}{1 + w_{1} x} + \frac{a_2}{1 + w_{0} x} = 1 \] \[ a_2 = 1 - \frac{a_0}{1 + w_{2} x} - \frac{a_1}{1 + w_{1} x} = 1 - \frac{1}{1 + w_{2} x} - \frac{w_1 x}{(1 + w_{1} x)^2} = 1 - \frac{1}{1 + w_{2} x} - \frac{w_1 x}{(1 + w_{1} x)^2} = \frac{(1 + w_{1} x)^2 (1 + w_{2} x) - (1 + w_{1} x)^2 - (1 + w_{2} x)}{(1 + w_{1} x)^2 (1 + w_{2} x) } \] \[ \bbox[white, 10px, border: 3px solid black]{ a_2 = \frac{ w_1^2 w_2 x^3 + w_1 w_2 x^2 + (-w_1 + w_2) x }{ (1 + w_{1} x)^2 (1 + w_{2} x) } } \]Cela devient vite compliqué à la main. Ecrivons alors un petit programme (PARI) pour nous venir en aide,
N=10
w=vector(N)
for(n=1,N,w[n]=eval(Str("w",n)))
phi(n)=if(n==0,1,w[n])
t=vector(N)
a(n)=if(n==0,1,if(t[n]!=0,t[n],t[n]=1-sum(k=0,n-1,a(k)/(1+w[n-k]*x));t[n]))
gp> a(3)
(w3*w2*w1^3*x^5 + 2*w3*w2*w1^2*x^4 + (-w1^3 + (-w2 + w3)*w1^2 + 2*w3*w2*w1)*x^3 + (-2*w1^2 + (-w2 + 3*w3)*w1)*x^2 + (-w2 + w3)*x)/(w3*w2*w1^3*x^5 + ((w2 + w3)*w1^3 + 3*w3*w2*w1^2)*x^4 + (w1^3 + (3*w2 + 3*w3)*w1^2 + 3*w3*w2*w1)*x^3 + (3*w1^2 + (3*w2 + 3*w3)*w1 + w3*
w2)*x^2 + (3*w1 + (w2 + w3))*x + 1)
gp> a(4)
(w4*w3*w2^2*w1^4*x^8 + (w4*w3*w2*w1^4 + 3*w4*w3*w2^2*w1^3)*x^7 + ((-w2^2 + (-w3 - w4)*w2 + w4*w3)*w1^4 + ((-w3 + w4)*w2^2 + 4*w4*w3*w2)*w1^3 + 4*w4*w3*w2^2*w1^2)*x^6 + (-3*w2*w1^4 + (-3*w2^2 - 4*w3*w2 + 5*w4*w3)*w1^3 + ((-2*w3 + 4*w4)*w2^2 +
*w3*w2^2*w1)*x^5 + (-w1^4 + (-8*w2 + (w3 + 3*w4))*w1^3 + (-2*w2^2 + (-7*w3 + 5*w4)*w2 + 7*w4*w3)*w1^2 + (-2*w3 + 4*w4)*w2^2*w1 + w4*w3*w2^2)*x^4 + (-w1^3 + (-7*w2 + (w3 + 7*w4))*w1^2 + ((-8*w3 + 4*w4)*w2 + 2*w4*w3)*w1 + 2*w4*w2^2)*x^3 + (w1^2 + (-4
1 + (w2^2 + (-2*w3 + 2*w4)*w2))*x^2 + (-w3 + w4)*x)/(w4*w3*w2^2*w1^4*x^8 + (((w3 + w4)*w2^2 + 2*w4*w3*w2)*w1^4 + 4*w4*w3*w2^2*w1^3)*x^7 + ((w2^2 + (2*w3 + 2*w4)*w2 + w4*w3)*w1^4 + ((4*w3 + 4*w4)*w2^2 + 8*w4*w3*w2)*w1^3 + 6*w4*w3*w2^2*w1^2)*x^6 + ((
+ (4*w2^2 + (8*w3 + 8*w4)*w2 + 4*w4*w3)*w1^3 + ((6*w3 + 6*w4)*w2^2 + 12*w4*w3*w2)*w1^2 + 4*w4*w3*w2^2*w1)*x^5 + (w1^4 + (8*w2 + (4*w3 + 4*w4))*w1^3 + (6*w2^2 + (12*w3 + 12*w4)*w2 + 6*w4*w3)*w1^2 + ((4*w3 + 4*w4)*w2^2 + 8*w4*w3*w2)*w1 + w4*w3*w2^2)*
+ (6*w3 + 6*w4))*w1^2 + (4*w2^2 + (8*w3 + 8*w4)*w2 + 4*w4*w3)*w1 + ((w3 + w4)*w2^2 + 2*w4*w3*w2))*x^3 + (6*w1^2 + (8*w2 + (4*w3 + 4*w4))*w1 + (w2^2 + (2*w3 + 2*w4)*w2 + w4*w3))*x^2 + (4*w1 + (2*w2 + (w3 + w4)))*x + 1)
gp> a(5)
*** at top-level: a(5)
*** ^----
*** in function a: ...,t[n],t[n]=1-sum(k=0,n-1,a(k)/(1+w[n-k]*x));t[
*** ^---------------------
*** the PARI stack overflows !
gp> factor(denominator(a(3)))
[w1*x + 1 3]
[w3*x + 1 1]
[w2*x + 1 1]
gp> factor(denominator(a(4)))
[w1*x + 1 4]
[w2*x + 1 2]
[w4*x + 1 1]
[w3*x + 1 1]
On a obtenu :
\[ \bbox[white, 10px, border: 3px solid black]{ a_3 = \frac{ \dots }{ (1 + w_{1} x)^3 (1 + w_{2} x) (1 + w_{3} x) } } \] \[ \bbox[white, 10px, border: 3px solid black]{ a_4 = \frac{ \dots }{ (1 + w_{1} x)^4 (1 + w_{2} x)^2 (1 + w_{3} x) (1 + w_{4} x) } } \]Même le programme explose en vol dès \( n = 5 \). Revoyons nos ambitions à la baisse : n'étudions que les dénominateurs des \( a_n \), supposons \( w_n = n \) et supposons que l'on puisse tirer des conclusions générales (sur les \(w_n\)) à partir de ce choix particulier (\(n\)).
gp> N=10 gp> aa=vector(1+N) gp> for(n=0,N,aa[1+n]=1-sum(k=0,n-1,aa[1+k]/(1+(n-k)*x));print1(n,"--->",factor(denominator(aa[1+n])),"\n")) 0--->matrix(0,2) 1--->Mat([x + 1, 1]) 2--->[x + 1, 2; 2*x + 1, 1] 3--->[x + 1, 3; 2*x + 1, 1; 3*x + 1, 1] 4--->[x + 1, 4; 2*x + 1, 2; 3*x + 1, 1; 4*x + 1, 1] 5--->[x + 1, 5; 2*x + 1, 2; 3*x + 1, 1; 4*x + 1, 1; 5*x + 1, 1] 6--->[x + 1, 6; 2*x + 1, 3; 3*x + 1, 2; 4*x + 1, 1; 5*x + 1, 1; 6*x + 1, 1] 7--->[x + 1, 7; 2*x + 1, 3; 3*x + 1, 2; 4*x + 1, 1; 5*x + 1, 1; 6*x + 1, 1; 7*x + 1, 1] 8--->[x + 1, 8; 2*x + 1, 4; 3*x + 1, 2; 4*x + 1, 2; 5*x + 1, 1; 6*x + 1, 1; 7*x + 1, 1; 8*x + 1, 1] 9--->[x + 1, 9; 2*x + 1, 4; 3*x + 1, 3; 4*x + 1, 2; 5*x + 1, 1; 6*x + 1, 1; 7*x + 1, 1; 8*x + 1, 1; 9*x + 1, 1] 10--->[x + 1, 10; 2*x + 1, 5; 3*x + 1, 3; 4*x + 1, 2; 5*x + 1, 2; 6*x + 1, 1; 7*x + 1, 1; 8*x + 1, 1; 9*x + 1, 1; 10*x + 1, 1]
Je vois apparaître un motif :
\[ \bbox[white, 10px, border: 3px solid black]{ a_n = \frac{ \dots }{ (1 + w_{1} x)^{\left \lfloor \frac{n}{1} \right \rfloor} (1 + w_{2} x)^{\left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor} \dots (1 + w_{k} x)^{\left \lfloor \frac{n}{k} \right \rfloor} \dots (1 + w_{n} x)^{\left \lfloor \frac{n}{n} \right \rfloor} }} \](A DEMONTRER).
Je trouve cela amusant et inattendu de tomber sur les \( \lfloor n/k \rfloor \) de cette manière, par un produit de Cauchy. Cela m'inspire un algorithme, où \( a[n][k] \) est la puissance de \( 1 - w_k x \) au dénominateur de \( a_n \) (ce dont on sait que c'est \( \lfloor n/k \rfloor \) ) :
n = 1
Tant que vrai faire
| Pour k allant de 1 à n faire
| | a[n][k] = max({a[i][k] + (i + k == n)}, pour i allant de 0 à n - 1)
| n++
Mais en réfléchissant un peu, on se rend compte qu'en fait cela revient à :
a[n][k] = max(a[n-k][k] + 1, a[n-1][k])
Soit dit en passant, ou bien \( a[n-k][k] = a[n-1][k] \) (si \( k \) n'est pas un diviseur de \( n \)) ou bien \( a[n-k][k] = a[n-1][k] + 1\) (si \( k \) est un diviseur de \( n \)). On peut donc tout simplement écrire :
a[n][k] = a[n-k][k] + 1
Penser en sous-jacent que cela signifie :
\[ 0 \leq n \lt k \implies \left \lfloor \frac{n}{k} \right \rfloor := 0 \] \[ 1 \leq k \leq n \implies \left \lfloor \frac{n}{k} \right \rfloor := \left \lfloor \frac{n - k}{k} \right \rfloor + 1 \]En récursif. Tout ça pour ça... Exemple, pour \( n = 4 \), le jaune se déduit du blanc en ajoutant 1 :
\[ \begin{array}{|c|cccc} \hline \left \lfloor \frac{n}{k} \right \rfloor & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & \dots & n \\ \hline 1 & 0 & 1 & 2 & \bbox[white, 10px, border: 3px solid black]{3} & \bbox[yellow, 10px, border: 3px solid black]{4} \\ 2 & 0 & 0 & \bbox[white, 10px, border: 3px solid black]{1} & 1 & \bbox[yellow, 10px, border: 3px solid black]{2} \\ 3 & 0 & \bbox[white, 10px, border: 3px solid black]{0} & 0 & 1 & \bbox[yellow, 10px, border: 3px solid black]{1} \\ 4 & \bbox[white, 10px, border: 3px solid black]{0} & 0 & 0 & 0 & \bbox[yellow, 10px, border: 3px solid black]{1} \\ \vdots \\ k \\ \end{array} \]LR, 24/08/2021.
J'ai déjà vu dans mes lectures l'information "k divise n" mise sous forme de matrice comme ceci :
\[ \begin{array}{|c|cccc} \hline (k|n) & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & \dots & k \\ \hline 1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 3 & 1 & 0 & 1 \\ 4 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ 5 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 6 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ \vdots \\ n \\ \end{array} \]Inverser une rangée mène à la fonction \( \mu \) de Möbius :
\[ R(n) = \sum_{k=1..n} (k|n) x^k \longleftrightarrow x^n = \sum_{k=1..n} \mu(n/k) (k|n) R(k) \]ce que l'on note plus communément : \[ R(n) = \sum_{d|n} x^d \longleftrightarrow x^n = \sum_{d|n} \mu(n/d) R(d) \]
(histoire d'ainsi éviter de devoir définir \( \mu \) pour des valeurs rationnelles.)
Maintenant, me dis-je, cette information "k divise n" transparaît tout autant dans la matrice \( T \) de coefficient
\[ t_{n,k} = \left \lfloor \frac{n-1}{k} \right \rfloor + \left \lfloor \frac{n}{k} \right \rfloor = 2 \left \lfloor \frac{n-1}{k} \right \rfloor + (k | n) \] \[ \begin{array}{|c|cccc} \hline t_{n,k} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & \dots & k \\ \hline 1 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ 3 & 5 & 2 & 1 \\ 4 & 7 & 3 & 2 & 1 \\ 5 & 9 & 4 & 2 & 2 & 1 \\ 6 & 11 & 5 & 3 & 2 & 2 & 1 \\ \vdots \\ n \\ \end{array} \]C'est la parité de \( t_{n,k} \) qui nous renseigne sur la vérité de \( (k | n) \) :
Que se passe-t-il si on inverse une rangée de \( T \) ? Voici ce que j'obtiens (programmation en PARI + observations non démontrées) :
t(n,k)=(floor((n-1)/k)+floor(n/k))
N=60
g=vector(N)
g[1]=Ser(x,x,N+1)
for(n=2,N,g[n]=x^n-sum(k=1,n-1,t(n,k)*g[k]))
for(n=1,N,print1("g[",n,"] = ",g[n],"\n"))
z(n)=my(v);v=vector(n,k,(-1)^(k+n)*(2-(k==n)));x*Ser(v)
f(n)=sumdiv(n,d,g[d])
for(n=1,10,print1("z(",n,")=",z(n),"\n"))
for(n=1,N,print1("n=",n,": (f(n) == z(n)) is ",f(n)==z(n),"\n"))
z(1)=x + O(x^2)
z(2)=-2*x + x^2 + O(x^3)
z(3)=2*x - 2*x^2 + x^3 + O(x^4)
z(4)=-2*x + 2*x^2 - 2*x^3 + x^4 + O(x^5)
z(5)=2*x - 2*x^2 + 2*x^3 - 2*x^4 + x^5 + O(x^6)
z(6)=-2*x + 2*x^2 - 2*x^3 + 2*x^4 - 2*x^5 + x^6 + O(x^7)
z(7)=2*x - 2*x^2 + 2*x^3 - 2*x^4 + 2*x^5 - 2*x^6 + x^7 + O(x^8)
z(8)=-2*x + 2*x^2 - 2*x^3 + 2*x^4 - 2*x^5 + 2*x^6 - 2*x^7 + x^8 + O(x^9)
...
g[1] = x
g[2] = -3*x + x^2
g[3] = x - 2*x^2 + x^3
g[4] = x^2 - 2*x^3 + x^4
g[5] = x - 2*x^2 + 2*x^3 - 2*x^4 + x^5
g[6] = -x + 3*x^2 - 3*x^3 + 2*x^4 - 2*x^5 + x^6
g[7] = x - 2*x^2 + 2*x^3 - 2*x^4 + 2*x^5 - 2*x^6 + x^7
g[8] = x^4 - 2*x^5 + 2*x^6 - 2*x^7 + x^8
g[9] = x^3 - 2*x^4 + 2*x^5 - 2*x^6 + 2*x^7 - 2*x^8 + x^9
...
Traduction : soit \( R(n) \) le polynôme qui décrit la rangée \( n \) dans \( T \) ; soient \( u_{n,k} \) les coefficients de la relation inversée,
\[ R(n) = \sum_{k=1..n} t_{n,k} x^k \longleftrightarrow x^n = \sum_{k=1..n} u_{n,k} R(k) \]Soit \( g[n] \) le polynôme qui décrit cette rangée inversée, i.e. on remplace \( R(k) \) par \( x^k \) dans le membre de droite,
\[ g[n] = \sum_{k=1..n} u_{n,k} x^k \]J'observe que :
\[ \sum_{d|n} g[d] = x^n - 2 x^{n-1} + 2 x^{n-2} - 2 x^{n-3} + \dots + (-1)^{n+k} 2 x \]Exemple pour \( n = 12 \) :
\[ \begin{array}{|c|rrrrrrrrrrrr| } \hline & x & x^2 & x^3 & x^4 & x^5 & x^6 & x^7 & x^8 & x^9 & x^{10} & x^{11} & x^{12} \\ \hline g[ 1] & 1 & \\ g[ 2] & -3 & 1 \\ g[ 3] & 1 & -2 & 1 \\ g[ 4] & & 1 & -2 & 1 & \\ g[ 6] & -1 & 3 & -3 & 2 & -2 & 1 & \\ g[12] & & -1 & 2 & -1 & & 1 & -2 & 2 & -2 & 2 & -2 & 1 \\ \hline \sum_{d|12} g[d] & -2 & +2 & -2 & +2 & -2 & +2 & -2 & +2 & -2 & +2 & -2 & +1 \\ \hline \end{array} \]Nommons
\[ \mathcal{Z}(n) = x^n - 2 x^{n-1} + 2 x^{n-2} - 2 x^{n-3} + \dots + (-1)^{n+k} 2 x = \sum_{k=1..n} (-1)^{n+k} (2 - \delta_k^n) x^k \]De l'égalité (non démontrée...)
\[ \mathcal{Z}(n) = \sum_{d|n} g[d] \]on déduit par inversion de Möbius :
\[ g[n] = \sum_{d|n} \mu(n/d) \mathcal{Z}(d) \]Je ne doute guère que l'on puisse démontrer rigoureusement cela. Je ne sais pas à quoi cela peut servir, je trouve juste cela joli.
LR, 04/09/2021.
Soient \( U \) et \( T \) deux matrices infinies triangulaires inférieures inverses l'une de l'autre. Elles sont donc liées par la relation \( U T = I \) : pour tout \( n \), pour tout \( l \),
\[ \sum_{k=1}^\infty u(n,k)t(k,l) = \delta_{n}^{l} \]Tous les \( t(k,l) \) tels que \( k \lt l \) valent \( 0 \), tous les \( u(n,k) \) tels que \( k \gt n \) aussi, on peut donc tout aussi bien écrire :
\[ \sum_{k=l}^n u(n,k)t(k,l) = \delta_{n}^{l} \]J'imposerai en outre :
\[ t(n,n) = u(n,n) = 1 \]Pour \( l \lt n \), il est plus simple d'écrire :
\[ \sum_{k=l}^n u(n,k) t(k,l) = 0 \](les matrices vues au § précédent sont un exemple de telles matrices.)
Le schéma ci-dessous illustre la façon dont fonctionne la formule pour \( n = 6, l = 2 \) : la somme des produits de cases de même couleur vaut \( 0 \) :
| \[ \begin{array}{|c|rrrrrrrrrrrr} \hline U & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & \dots \\ \hline 1 & 1 & \\ 2 & ? & 1 \\ 3 & ? & ? & 1 \\ 4 & ? & ? & ? & 1 \\ 5 & ? & ? & ? & ? & 1 \\ 6 & ? & \bbox[green,5px]{?} & \bbox[blue,5px]{?} & \bbox[yellow,5px]{?} & \bbox[magenta,5px]{?} & \bbox[cyan,5px]{1} \\ \vdots \\ \end{array} \] | \[ \begin{array}{|c|rrrrrrrrrrrr} \hline T & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & \dots \\ \hline 1 & 1 & \\ 2 & ? & \bbox[green,5px]{1} \\ 3 & ? & \bbox[blue,5px]{?} & 1 \\ 4 & ? & \bbox[yellow,5px]{?} & ? & 1 \\ 5 & ? & \bbox[magenta,5px]{?} & ? & ? & 1 \\ 6 & ? & \bbox[cyan,5px]{?}& ? & ? & ? & 1 \\ \vdots \\ \end{array} \] |
Maintenant, donnons un nom de variable aux cases de \( T \), comme ceci, en faisant usage du symbole \( $ \), comme en BASIC ou en SHELL :
\[ \begin{array}{|c|rrrrrrrrrrrr} \hline T & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & \dots \\ \hline 1 & 1 & \\ 2 & $a & 1 \\ 3 & $ab & $b & 1 \\ 4 & $abc & $bc & $c & 1 \\ 5 & $abcd & $bcd & $cd & $d & 1 \\ 6 & $abcde & $bcde & $cde & $de & $e & 1 \\ \vdots \\ \end{array} \]et déterminons de proche en proche les valeurs dans les cases de \( U \), en fonction de ces variables dans \( T \) :
| \[ \begin{array}{|c|rrrrrrrrrrrr} \hline U & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & \dots \\ \hline 1 & 1 & \\ 2 & \bbox[green,5px]{u(2,1)} & \bbox[blue,5px]{1} \\ \vdots \\ \end{array} \] | \[ \begin{array}{|c|rrrrrrrrrrrr} \hline T & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & \dots \\ \hline 1 & \bbox[green,5px]{1} & \\ 2 & \bbox[blue,5px]{$a} & 1 \\ \vdots \\ \end{array} \] | \[ u(2,1) 1 + 1 $a = 0 \] \[ u(2,1) = -$a \] |
Pour tous les éléments de la 1ère sous-diagonale, même principe, ce qui nous donne :
\[ \begin{array}{|c|rrrrrrrrrrrr} \hline U & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & \dots \\ \hline 1 & 1 & \\ 2 & -$a & 1 \\ 3 & ? & -$b & 1 \\ 4 & ? & ? & -$c & 1 \\ 5 & ? & ? & ? & -$d & 1 \\ 6 & ? & ? & ? & ? & -$e & 1 \\ \vdots \\ \end{array} \]On poursuit :
| \[ \begin{array}{|c|rrrrrrrrrrrr} \hline U & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & \dots \\ \hline 1 & 1 & \\ 2 & -$a & 1 \\ 3 & \bbox[green,5px]{u(3,1)} & \bbox[blue,5px]{-$b} & \bbox[yellow,5px]{1} \\ \vdots \\ \end{array} \] | \[ \begin{array}{|c|rrrrrrrrrrrr} \hline T & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & \dots \\ \hline 1 & \bbox[green,5px]{1} & \\ 2 & \bbox[blue,5px]{$a} & 1 \\ 3 & \bbox[yellow,5px]{$ab} & $b & 1 \\ \vdots \\ \end{array} \] | \[ u(3,1) 1 + (-$b)$a + 1 $ab = 0 \] \[ u(3,1) = -$ab + $a$b \] |
Pour tous les éléments de la 2ème sous-diagonale, même principe, ce qui nous donne :
\[ \begin{array}{|c|rrrrrrrrrrrr} \hline U & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & \dots \\ \hline 1 & 1 \\ 2 & -$a & 1 \\ 3 & -$ab + $a$b & -$b & 1 \\ 4 & ? & -$bc + $b$c & -$c & 1 \\ 5 & ? & ? & -$cd + $c$d & -$d & 1 \\ 6 & ? & ? & ? & -$de + $d$e & -$e & 1 \\ \vdots \\ \end{array} \]En poursuivant ainsi, on obtient :
\[ u(1,1) = 1 \] \[ u(2,1) = -$a \] \[ u(3,1) = -$ab + $a$b \] \[ u(4,1) = -$abc + $a $bc + $ab $c - $a$b$c \] \[ u(5,1) = -$abcd + $a $bcd + $ab $cd + $abc $d - $a $b $cd - $a$bc$d - $ab $c $d + $a $b $c $d \] \[ u(6,1) = -$abcde + $a $bcde + $ab $cde + $abc $de + $abcd $e - $a $b $cde - $a $bc $de - $a $bcd $e - $ab $c $de - $ab $cd $e - $abc $d $e + $a $b $c $de + $a $b $cd $e + $a $bc $d $e + $ab $c $d $e - $a $b $c $d $e \]On voit apparaître un motif régulier. Le symbole $ joue en quelque sorte le rôle de séparateur, d'un annonciateur de morceau.
Pour calculer \( u(n,1) \), formellement, on cherche toutes les manières de partitionner \( \{ a, b, \dots \} \) ( \(n - 1\) lettres ordonnées ) en parties connexes, on affecte à une partition le signe \( - \) si son nombre de parties est impair, et on additionne le tout.
Bien entendu, on décale les lettres, au besoin :
\[ u(5,1) = -$abcd + $a $bcd + $ab $cd + $abc $d - $a $b $cd - $a$bc$d - $ab $c $d + $a $b $c $d \] \[ u(6,2) = -$bcde + $b $cde + $bc $de + $bcd $e - $b $c $de - $b $cd $e - $bc $d $e + $b $c $d $e \] \[ u(7,3) = -$cdef + $c $def + $cd $ef + $cde $f - $c $d $ef - $c $de $f - $cd $e $f + $c $d $e $f \] \[ \dots \]La structure de la formule de calcul de \( u(n, l) \) ne dépend que de \( n - l \).
Le choix initial des noms des variables dans \( T \) s'en trouve justifié : on peut voir (par exemple) \( $fghi \) comme la case située dans l'angle inférieur gauche d'un triangle rectangle dans \( T \), de sommets \( $fghi \), \( $f \) et \( $i \), qui visuellement fait l'accolade de \( f \), \( g \), \( h \) et \( i \).
Ce triangle réunit toutes les variables dont le nom est formable à partir de ces quatre lettres et figurant dans la formule de calcul du coefficient correspondant dans \( U \).
LR, 07/09/2021.