Dans un plan, combien \( n \) droites distinctes délimitent-elles de régions ?
Le premier niveau de réponse est bien évidemment "ça dépend des droites" :
le nombre de régions n'est pas le même selon qu'il y a, ou non, dans le lot,
des droites parallèles,
des droites concourantes.
L'exemple le plus simple possible : \( n = 2 \) ; deux possibilités : \( r = 3 \) et \( r = 4 \)
En cherchant sur internet, j'ai bien aimé l'introduction du papier de Stéphane Vinatier ;
j'en retiens que \( n \) droites distinctes délimitent \( r \) régions, \( r \) donné par la formule
\[ \bbox[white, 10px, border: 3px solid black]{ r = 1 + n + \sum_{P} \mu(P) } (1) \]
où \( P \) parcourt l'ensemble des points d'intersection et \( \mu(P) \), la multiplicité de \( P \),
est — une définition qui m'est propre — le nombre de droites "au-delà de la première" passant par \( P \).
En d'autres termes, avec cette définition,
un point \( P \) par lequel passent exactement \( 2 \) droites est un point simple, i.e. \( \mu(P) = 1 \) ;
un point \( P \) par lequel passent exactement \( 3 \) droites est un point double, i.e. \( \mu(P) = 2 \) ;
etc.
Soit dit en passant, rien ne nous empêche de voir un point du plan qui n'est même pas un point d'intersection comme étant un point \( P \) tel que \( \mu(P) = 0 \) ; et donc,
un point \( P \) par lequel passe exactement 1 droite est un point nul, et \( \mu(P) = 0 \) ;
un point \( P \) par lequel passe exactement 0 droite est un point <inventer ici un adjectif pour dire relatif à \( -1 \)> et \( \mu(P) = 0 \).
La formule peut alors être élargie, en ce sens que dans
\[ r = 1 + n + \sum_{P} \mu(P) \]
on peut considérer que \( P \) parcourt l'ensemble des points du plan tout entier.
Maintenant, posons-nous la question : avec \( n \) droites que l'on peut déplacer à notre guise (du moment qu'elles restent distinctes),
quel est le nombre de valeurs de \( r \) distinctes que l'on peut obtenir ?
On sent bien qu'il existe tout un éventail de possibilités entre :
le cas où les \( n \) droites sont parallèles, \( r = 1 + n \) ;
le cas où les \( n \) droites sont en position générale, \( r = (n^2 + n + 2) / 2 \).
Je n'ai pas la réponse à la question, mais ai imaginé quelque chose d'approchant (qui donne peut-être la réponse, peut-être pas ; je n'ai aucune certitude) et qui est calculable.
J'en ai fait une suite sur OEIS.
2. Un problème dérivé et sa suite OEIS associée : A306597
Pour commencer, voyons le nombre de régions comme un "profit" ; cela va nous motiver à essayer de le maximiser.
Dans le problème à \( n \) droites, le terme \( 1 + n \) dans la formule (1) nous est acquis ; c'est un profit plancher ; on peut l'ignorer et se focaliser sur le terme \( \sum_{P} \mu(P) \).
Un point de multiplicité \( k \gt 1 \) utilise \( k + 1 \geq 3 \) droites ; sa contribution à notre profit s'élève à \( k \) [régions].
C'est une grosse contribution, certes, mais cela peut être vu comme du "gâchis" : ces \( k + 1 \) droites n'ont formé qu'un seul point.
Si ces \( k + 1 \) droites s'intersectaient en des points d'intersection simples uniquement, il y aurait \( \binom{k+1}{2} = \frac{k(k+1)}{2}\) points d'intersection, et non un seul ;
et la contribution de ces points simples à notre profit serait de \( 1 \) [nouvelle région] par point simple.
Il y a donc un motif économique à comparer :
\[ 1 \times k \leftrightarrow \frac{k(k+1)}{2} \times 1 \]
Plutôt que de considérer un arrangement de \( n \) droites, considérons-en un de \( n + 1 \).
Supposons que le parallélisme n'existe pas (quitte à se placer en géométrie projective).
Appelons \( x_k \) le nombre de points dont la multiplicité est \( k \), pour \( k \) allant de \( 1 \) à \( n \) (vérifiez que ce sont bien les bonnes bornes)(d'où l'idée d'avoir \(n+1\) droites) et
appelons \( T_k = \frac{k(k+1)}{2} \) le kième nombre triangulaire.
Il faut voir \( T_n \) comme un stock de paires de droites, nos "ressources de production", à répartir entre :
les paires de droites dont l'intersection, au final, sera un point de multiplicité 1 ;
les paires de droites dont l'intersection, au final, sera un point de multiplicité 2 ;
...
les paires de droites dont l'intersection, au final, sera un point de multiplicité \( n \).
Combien place-t-on de paires de droites dans un point de multiplicité \( k \) ? Réponse, vu qu'il y a \( k+1 \) droites passant par un tel point : \( \binom{k+1}{2} = \frac{k(k+1)}{2} = T_k \).
Combien place-t-on de paires de droites dans l'ensemble des points de multiplicité \( k \) ? Réponse : \( x_k T_k \)
Le bilan de répartition des ressources de production est alors :
\[ T_n = \sum_{k=1}^n x_k T_k \]
On peut voir le \( n \)-uplet \( (x_1, x_2, \dots, x_n) \) comme un choix de répartition des ressources de production, comme une stratégie, qu'il convient maintenant d'évaluer.
Le "profit" généré par le \( n \)-uplet stratégie \( (x_1, x_2, \dots, x_n) \) est donné par :
Pourquoi est-ce un problème dérivé et non le problème originel ?
primo, parce qu'on a supposé qu'il n'y avait pas de droites parallèles ; possible qu'une magouille de type projectif nous vienne en aide pour lever cette objection, mais
surtout, secundo, parce que je n'ai pas la certitude que l'on puisse toujours réaliser à l'aide de droites les répartitions que nous avons imaginées sur les nombres triangulaires.
La géométrie contient peut-être des contraintes supplémentaires (exemple : interdiction de tordre des droites pour les amener là où il faut...)
Quand on regarde A177862 qui malheureusement (à ce jour) s'arrête au nombre de droites \( n = 6 \),
on se dit que notre problème dérivé se comporte bien pour les petites valeurs de \( n \).
En effet, pour \(n\) allant de \( 2 \) à \( 6 \), \( E(n - 1) \) translaté de \( n + 2 \) (le profit plancher correspondant) concorde avec la rangée \( n \) de A177862, à l'exception du premier élément (\(= n + 1 \)).
Cet élément qui manque côté \( E(n-1) \) est celui correspondant aux arrangements où les \( n \) droites sont parallèles. Il suffit de comparer :
\[ n \]nombre de droites
rangée n de A177862 Valeurs possibles du nombre de régions
mais je suis loin d'être convaincu que le résultat reste valable pour \( n \gt 6 \). Si je devais émettre une conjecture, je dirais plutôt qu'il doit exister des \( n \gt 6 \) tels que
