Soit :
| \[ \bbox[white, 10px, border: 3px solid black]{ \alpha_0(x) := \arctan (x) = \sum_{k\in \mathbb{N}} (-1)^k \frac{x^{2k+1}}{2k+1} } (1) \] | \[ \bbox[white, 10px, border: 3px solid black]{ \lambda_0(x) := \frac{\ln(1+x^2)}{2} = \sum_{k\in \mathbb{N}} (-1)^k \frac{x^{2k+2}}{2k+2} } (2) \] |
Fixons nous deux objectifs :
Fixons nos notations ; posons, pour \( n \geq 1 \),
| \[ \bbox[white, 10px, border: 3px solid black]{ \alpha_n(x) := \int_0^x \alpha_{n-1}(t) dt } (3) \] | \[ \bbox[white, 10px, border: 3px solid black]{ \lambda_n(x) := \int_0^x \lambda_{n-1}(t) dt } (4) \] | \[ \bbox[white, 10px, border: 3px solid black]{ A_n(x) := \int_0^x t^{n-1} \alpha_0(t) dt } (5) \] | \[ \bbox[white, 10px, border: 3px solid black]{ L_n(x) := \int_0^x t^{n-1} \lambda_0(t) dt } (6) \] |
A l'intersection de nos deux objectifs se trouvent :
| \[ \bbox[white, 10px, border: 3px solid black]{ \alpha_1(x) = A_1(x) = x \alpha_0(x) - \lambda_0(x) } (7) \] | \[ \bbox[white, 10px, border: 3px solid black]{ \lambda_1(x) = L_1(x) = \alpha_0(x) + x \lambda_0(x) - x } (8) \] |
Ces résultats peuvent être obtenus par des intégrations par parties ; on peut aussi dériver les fonctions ci-dessus et vérifier que cela donne \( \alpha_0 \) et \( \lambda_0 \).
Nous allons maintenant progresser vers l'objectif 2 en premier.
Partant de
\[ A_{k+1}(x) = \int_0^x t^k \alpha_0(t) dt \]procédons à une intégration par parties.
\( u = t^k \) et \( dv = \alpha_0(t) dt \).
\( du = k t^{k-1} dt \) et \( v = t \alpha_0(t) - \lambda_0(t) \).
\[ A_{k+1}(x) = \left [ uv \right ] _0^x - \int_0^x v du = \left [ t^k (t \alpha_0(t) - \lambda_0(t)) \right ] _0^x - \int_0^x (t \alpha_0(t) - \lambda_0) (k t^{k-1} dt) \] \[ A_{k+1}(x) = x^{k+1} \alpha_0(x) - x^k \lambda_0(x) - k A_{k+1}(x) + k L_{k}(x) \] \[ \bbox[white, 10px, border: 3px solid black]{ (k+1) A_{k+1}(x) = x^{k+1} \alpha_0(x) - x^k \lambda_0(x) + k L_{k}(x) } (9) \]On peut en déduire, en particulier, \( A_2 \) :
\[ 2 A_2(x) = x^2 \alpha_0(x) - x \lambda_0(x) + \left ( \alpha_0(x) + x \lambda_0(x) - x \right ) \] \[ 2 A_2(x) = (x^2 + 1) \alpha_0(x) - x \] \[ \bbox[white, 10px, border: 3px solid black]{ A_2(x) = \frac{x^2 + 1}{2} \alpha_0(x) - \frac{x}{2} } (10) \]Partant de
\[ L_{k+1}(x) = \int_0^x t^k \lambda_0(t) dt \]procédons à une intégration par parties.
\( u = t^k \) et \( dv = \lambda_0(t) dt \).
\( du = k t^{k-1} dt \) et \( v = \alpha_0(t) + t \lambda_0(t) - t \).
\[ L_{k+1}(x) = \left [ uv \right ] _0^x - \int_0^x v du = \left [ t^k (\alpha_0(t) + t \lambda_0(t) - t) \right ]_0^x - \int_0^x (\alpha_0(t) + t \lambda_0(t) - t)(k t^{k-1} dt) \] \[ L_{k+1}(x) = x^k \alpha_0(x) + x^{k+1} \lambda_0(x) - x^{k+1} - k A_{k}(x) - k L_{k+1}(x) + k \frac{x^{k+1}}{k+1} \] \[ \bbox[white, 10px, border: 3px solid black]{ (k+1) L_{k+1}(x) = x^k \alpha_0(x) + x^{k+1} \lambda_0(x) - k A_{k}(x) - \frac{1}{k+1} x^{k+1} } (11) \]On peut en déduire, en particulier, \( L_2 \) :
\[ 2 L_2(x) = x \alpha_0(x) + x^2 \lambda_0(x) - \left ( x \alpha_0(x) - \lambda_0(x) \right ) - \frac{1}{2} x^2 \] \[ 2 L_2(x) = (x^2 + 1) \lambda_0(x) - \frac{1}{2} x^2 \] \[ \bbox[white, 10px, border: 3px solid black]{ L_2(x) = \frac{x^2 + 1}{2} \lambda_0(x) - \frac{1}{4} x^2 } (12) \]En injectant (11) dans (9), il vient
\[ (k+1) A_{k+1}(x) = x^{k+1} \alpha_0(x) - x^k \lambda_0(x) + \left ( x^{k-1} \alpha_0(x) + x^{k} \lambda_0(x) - (k-1) A_{k-1}(x) - \frac{1}{k} x^{k} \right ) \] \[ \bbox[white, 10px, border: 3px solid black]{ (k+1) A_{k+1}(x) + (k-1) A_{k-1}(x) = \left(x^{k+1}+x^{k-1}\right) \alpha_0(x) - \frac{x^k}{k} } (13) \]En injectant (9) dans (11), il vient
\[ (k+1) L_{k+1}(x) = x^k \alpha_0(x) + x^{k+1} \lambda_0(x) - \left ( x^{k} \alpha_0(x) - x^{k-1} \lambda_0(x) + (k-1) L_{k-1}(x) \right ) - \frac{1}{k+1} x^{k+1} \] \[ \bbox[white, 10px, border: 3px solid black]{ (k+1) L_{k+1}(x) + (k-1) L_{k-1}(x) = \left ( x^{k+1} + x^{k-1} \right ) \lambda_0(x) - \frac{x^{k+1}}{k+1} } (14) \]De \((13)\), on déduit :
\[ \begin{array}{ccc} k A_{k}(x) & + & (k-2) A_{k-2}(x) & & & & & = & x^{k} \alpha_0(x) & + & x^{k-2} \alpha_0(x) & & & & & - & \frac{1}{k-1} x^{k-1} \\ & & (k-2) A_{k-2}(x) & + & (k-4) A_{k-4}(x) & & & = & & & x^{k-2} \alpha_0(x) & + & x^{k-4} \alpha_0(x) & & & - & \frac{1}{k-3} x^{k-3} \\ & & & & (k-4) A_{k-4}(x) & + & (k-6) A_{k-6}(x) & = & & & & & x^{k-4} \alpha_0(x) & + & x^{k-6} \alpha_0(x) & - & \frac{1}{k-5} x^{k-5} \\ \dots & & \dots & & \dots & & \dots & & \dots & & \dots & & \dots & & \dots & & \dots \\ \end{array} \]En attribuant un signe alterné +/-/+/-... à chaque ligne, et en sommant en colonnes, un téléscopage massif s'opère... Je passe les détails (calculatoires et casuistiques). Même raisonnement à partir de \((14)\). Tout se ramène à :
\[ \forall k \geq 1, \bbox[white, 10px, border: 3px solid black]{ A_k(x) = \frac{1}{k} \left ( \left ( x^k - \mbox{Re} \left (i^k \right) \right ) \alpha_0(x) - \mbox{Im}\left (i^k \right) \lambda_0(x) - \sum_{l=1}^{k} \mbox{Im}\left(i^{k-l}\right) \frac{x^l}{l} \right ) } (15) \] \[ \forall k \geq 1, \bbox[white, 10px, border: 3px solid black]{ L_k(x) = \frac{1}{k} \left ( \mbox{Im}\left (i^k \right) \alpha_0(x) + \left ( x^k - \mbox{Re} \left (i^k \right) \right ) \lambda_0(x) - \sum_{l=1}^{k} \mbox{Re}\left(i^{k-l}\right) \frac{x^l}{l} \right ) } (16) \]où \( i = \sqrt{-1} \) est l'unité imaginaire, \( \mbox{Re} \) la partie réelle, \( \mbox{Im} \) la partie imaginaire, et où les notations \( \mbox{Re}(i^k) \) et \( \mbox{Im}(i^k) \) sont juste là pour représenter les suites \( [k \mbox{ pair}] \times (-1)^{k/2} = \{ 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, \dots \} \) et \( [k \mbox{ impair}] \times (-1)^{(k-1)/2} = \{ 0, 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, \dots \} \) .
Exemple d'application : \( k = 43 \) :
\[ \int_{0}^{x} t^{42} \arctan(t) dt = \frac{1}{43} \left ( x^{43} \arctan(x) + \frac{\ln(1+x^2)}{2} - \left ( \frac{x^{42}}{42} - \frac{x^{40}}{40} + \dots - \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{2}}{2} \right ) \right ) \] \[ \int_{0}^{x} t^{42} \frac{\ln(1+t^2)}{2} dt = \frac{1}{43} \left ( - \arctan(x) + x^{43} \frac{\ln(1+x^2)}{2} - \left ( \frac{x^{43}}{43} - \frac{x^{41}}{41} + \dots + \frac{x^{3}}{3} - x \right ) \right ) \]Avec les résultats de ce paragraphe, l'objectif 2 est atteint. Essayons maintenant d'atteindre l'objectif 1.
On se propose de démontrer par récurrence qu'il existe 6 suites de polynômes à coefficients rationnels
| \[ (P_n)_{n\in \mathbb{N}} \] \[ d^\circ(P_n) \leq n \] \[ P_n(x) = \sum_{k=0}^n p_{n,k}x^k \] | \[ (Q_n)_{n\in \mathbb{N}} \] \[ d^\circ(Q_n) \leq n \] \[ Q_n(x) = \sum_{k=0}^n q_{n,k}x^k \] | \[ (R_n)_{n\in \mathbb{N}} \] \[ d^\circ(R_n) \leq n \] \[ R_n(x) = \sum_{k=0}^n r_{n,k}x^k \] | \[ (U_n)_{n\in \mathbb{N}} \] \[ d^\circ(U_n) \leq n \] \[ U_n(x) = \sum_{k=0}^n u_{n,k}x^k \] | \[ (V_n)_{n\in \mathbb{N}} \] \[ d^\circ(V_n) \leq n \] \[ V_n(x) = \sum_{k=0}^n v_{n,k}x^k \] | \[ (W_n)_{n\in \mathbb{N}} \] \[ d^\circ(W_n) \leq n \] \[ W_n(x) = \sum_{k=0}^n w_{n,k}x^k \] |
tels que quel que soit \( n \geq 0 \),
\[ \alpha_n(x) = P_n(x) \alpha_0(x) + Q_n(x) \lambda_0(x) + R_n(x) \] \[ \lambda_n(x) = U_n(x) \alpha_0(x) + V_n(x) \lambda_0(x) + W_n(x) \]\((1)\), \((2)\), \((7)\) et \((8)\) prouvent que la propriété est vraie pour \( n = 0 \) et \( n = 1 \).
| \( n \) | \( P_n \) | \( Q_n \) | \( R_n \) | \( U_n \) | \( V_n \) | \( W_n \) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \( 0 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 0 \) |
| \( 1 \) | \( x \) | \( -1 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( x \) | \( -x \) |
Supposons la propriété vraie pour les nombres allant de \( 0 \) à \( n \) et démontrons qu'elle l'est alors encore pour le nombre \( n + 1 \).
\[ \alpha_{n+1}(x) = \int_0^x \alpha_{n}(t) dt = \int_0^x \left ( P_{n}(t)\alpha_0(t) + Q_{n}(t)\lambda_0(t) + R_{n}(t) \right) dt \] \[ \alpha_{n+1}(x) = \int_0^x \left ( \sum_{k=0}^{n} p_{n,k}t^k \alpha_0(t) + \sum_{k=0}^{n} q_{n,k}t^k \lambda_0(t) + \sum_{k=0}^{n} r_{n,k}t^k \right) dt \] \[ \alpha_{n+1}(x) = \left ( \sum_{k=0}^{n} p_{n,k} \int_0^x t^k \alpha_0(t) dt \right ) + \left ( \sum_{k=0}^{n} q_{n,k} \int_0^x t^k \lambda_0(t) dt \right ) + \left ( \sum_{k=0}^{n} r_{n,k} \int_0^x t^k dt \right ) \] \[ \bbox[white, 10px, border: 3px solid black]{ \alpha_{n+1}(x) = \left ( \sum_{k=0}^{n} p_{n,k} A_{k+1}(x) \right ) + \left ( \sum_{k=0}^{n} q_{n,k} L_{k+1}(x) \right ) + \left ( \sum_{k=0}^{n} r_{n,k} \int_0^x t^k dt \right ) } (17) \]On injecte \((15)\) et \((16)\) dans \((17)\). Il vient (tenez bon)
\[ \alpha_{n+1}(x) = \left ( \sum_{k=0}^{n} \frac{p_{n,k}}{k+1} \left ( \left ( x^{k+1} - \mbox{Re} \left (i^{k+1} \right) \right ) \alpha_0(x) - \mbox{Im}\left (i^{k+1} \right) \lambda_0(x) - \sum_{l=1}^{k+1} \mbox{Im}\left(i^{k+1-l}\right) \frac{x^l}{l} \right ) \right ) + \left ( \sum_{k=0}^{n} \frac{q_{n,k}}{k+1} \left ( \mbox{Im}\left (i^{k+1} \right) \alpha_0(x) + \left ( x^{k+1} - \mbox{Re} \left (i^{k+1} \right) \right ) \lambda_0(x) - \sum_{l=1}^{k+1} \mbox{Re}\left(i^{k+1-l}\right) \frac{x^l}{l} \right ) \right ) + \left ( \sum_{k=0}^{n} r_{n,k} \frac{x^{k+1}}{k+1} \right ) \] \[ \alpha_{n+1}(x) = \left ( \sum_{k=0}^{n} \frac{ p_{n,k} \left ( x^{k+1} - \mbox{Re} \left (i^{k+1} \right) \right ) + q_{n,k} \mbox{Im} \left (i^{k+1} \right) }{k+1} \right ) \alpha_0(x) + \left ( \sum_{k=0}^{n} \frac{ q_{n,k} \left ( x^{k+1} - \mbox{Re} \left (i^{k+1} \right) \right ) - p_{n,k} \mbox{Im} \left (i^{k+1} \right) }{k+1} \right ) \lambda_0(x) - \left ( \sum_{k=0}^{n} \sum_{l=1}^{k+1} \frac{ p_{n,k} \mbox{Im}\left(i^{k+1-l} \right ) + q_{n,k} \mbox{Re}\left(i^{k+1-l} \right ) }{k+1} \frac{x^l}{l} \right ) + \left ( \sum_{k=0}^{n} r_{n,k} \frac{x^{k+1}}{k+1} \right ) \]Le terme double somme peut se réécrire en changeant l'ordre des indices,
\[ \sum_{k=0}^{n} \sum_{l=1}^{k+1} = \sum_{l=1}^{n+1} \sum_{k=l-1}^{n} \]On a donc
\[ \alpha_{n+1}(x) = \left ( \left ( \sum_{k=1}^{n+1} \frac{p_{n,k-1}}{k} x^{k} \right ) + \left ( \sum_{k=1}^{n+1} \frac{ - p_{n,k-1} \mbox{Re} \left (i^{k} \right) + q_{n,k-1} \mbox{Im} \left (i^{k} \right) }{k} \right ) \right ) \alpha_0(x) + \left ( \left ( \sum_{k=1}^{n+1} \frac{q_{n,k-1}}{k} x^{k} \right ) + \left ( \sum_{k=1}^{n+1} \frac{ - q_{n,k-1} \mbox{Re} \left (i^{k} \right) - p_{n,k-1} \mbox{Im} \left (i^{k} \right) }{k} \right ) \right ) \lambda_0(x) - \left ( \sum_{l=1}^{n+1} \left ( \sum_{k=l-1}^{n} \frac{ p_{n,k} \mbox{Im}\left(i^{k+1-l} \right ) + q_{n,k} \mbox{Re}\left(i^{k+1-l} \right ) }{k+1} \right ) \frac{x^l}{l} \right ) + \left ( \sum_{k=1}^{n+1} r_{n,k-1} \frac{x^{k}}{k} \right ) \]En renommant \( k \) et \( l \) les variables muettes \( l \) et \( k \) de la double somme, il vient
\[ \alpha_{n+1}(x) = \left ( \left ( \sum_{k=1}^{n+1} \frac{p_{n,k-1}}{k} x^{k} \right ) + \left ( \sum_{k=1}^{n+1} \frac{ - p_{n,k-1} \mbox{Re} \left (i^{k} \right) + q_{n,k-1} \mbox{Im} \left (i^{k} \right) }{k} \right ) \right ) \alpha_0(x) + \left ( \left ( \sum_{k=1}^{n+1} \frac{q_{n,k-1}}{k} x^{k} \right ) + \left ( \sum_{k=1}^{n+1} \frac{ - q_{n,k-1} \mbox{Re} \left (i^{k} \right) - p_{n,k-1} \mbox{Im} \left (i^{k} \right) }{k} \right ) \right ) \lambda_0(x) - \left ( \sum_{k=1}^{n+1} \left ( \sum_{l=k-1}^{n} \frac{ p_{n,l} \mbox{Im}\left(i^{l+1-k} \right ) + q_{n,l} \mbox{Re}\left(i^{l+1-k} \right ) }{l+1} \right ) \frac{x^k}{k} \right ) + \left ( \sum_{k=1}^{n+1} r_{n,k-1} \frac{x^{k}}{k} \right ) \] \[ \bbox[white, 10px, border: 3px solid black]{ \alpha_{n+1}(x) = \left ( \left ( \sum_{k=1}^{n+1} \frac{p_{n,k-1}}{k} x^{k} \right ) + \left ( \sum_{k=1}^{n+1} \frac{ - p_{n,k-1} \mbox{Re} \left (i^{k} \right) + q_{n,k-1} \mbox{Im} \left (i^{k} \right) }{k} \right ) \right ) \alpha_0(x) + \left ( \left ( \sum_{k=1}^{n+1} \frac{q_{n,k-1}}{k} x^{k} \right ) + \left ( \sum_{k=1}^{n+1} \frac{ - q_{n,k-1} \mbox{Re} \left (i^{k} \right) - p_{n,k-1} \mbox{Im} \left (i^{k} \right) }{k} \right ) \right ) \lambda_0(x) + \left ( \sum_{k=1}^{n+1} \left ( r_{n,k-1} - \left ( \sum_{l=k-1}^{n} \frac{ p_{n,l} \mbox{Im}\left(i^{l+1-k} \right ) + q_{n,l} \mbox{Re}\left(i^{l+1-k} \right ) }{l+1} \right ) \right ) \frac{x^k}{k} \right ) } (18) \]On reconnaît là la forme désirée,
\[ \bbox[white, 10px, border: 3px solid black]{ \alpha_{n+1}(x) = P_{n+1}(x) \alpha_0(x) + Q_{n+1}(x) \lambda_0(x) + R_{n+1}(x) } (19) \]avec \( P_{n+1}, Q_{n+1}, R_{n+1} \) des polynômes de degré au plus \( n + 1\). Exactement le même raisonnement peut être déroulé pour \( \lambda_{n+1}(x) \), où il suffit de substituer les lettres : \( (P, Q, R, p, q, r) \rightarrow (U, V, W, u,v,w) \).
La propriété est donc maintenant prouvée pour l'entier \( n + 1 \) et le raisonnement par récurrence est terminé.
L'identification de \((18)\) et \((19)\) donne les formules de récurrence :
| \[ P_{n+1}(x) = \left ( \sum_{k=1}^{n+1} \frac{p_{n,k-1}}{k} x^{k} \right ) + \left ( \sum_{k=1}^{n+1} \frac{ - p_{n,k-1} \mbox{Re} \left (i^{k} \right) + q_{n,k-1} \mbox{Im} \left (i^{k} \right) }{k} \right ) \] | \[ U_{n+1}(x) = \left ( \sum_{k=1}^{n+1} \frac{u_{n,k-1}}{k} x^{k} \right ) + \left ( \sum_{k=1}^{n+1} \frac{ - u_{n,k-1} \mbox{Re} \left (i^{k} \right) + v_{n,k-1} \mbox{Im} \left (i^{k} \right) }{k} \right ) \] |
| \[ Q_{n+1}(x) = \left ( \sum_{k=1}^{n+1} \frac{q_{n,k-1}}{k} x^{k} \right ) + \left ( \sum_{k=1}^{n+1} \frac{ - q_{n,k-1} \mbox{Re} \left (i^{k} \right) - p_{n,k-1} \mbox{Im} \left (i^{k} \right) }{k} \right ) \] | \[ V_{n+1}(x) = \left ( \sum_{k=1}^{n+1} \frac{v_{n,k-1}}{k} x^{k} \right ) + \left ( \sum_{k=1}^{n+1} \frac{ - v_{n,k-1} \mbox{Re} \left (i^{k} \right) - u_{n,k-1} \mbox{Im} \left (i^{k} \right) }{k} \right ) \] |
| \[ R_{n+1}(x) = \sum_{k=1}^{n+1} \left ( r_{n,k-1} - \left ( \sum_{l=k-1}^{n} \frac{ p_{n,l} \mbox{Im}\left(i^{l+1-k} \right ) + q_{n,l} \mbox{Re}\left(i^{l+1-k} \right ) }{l+1} \right ) \right ) \frac{x^k}{k} \] | \[ W_{n+1}(x) = \sum_{k=1}^{n+1} \left ( w_{n,k-1} - \left ( \sum_{l=k-1}^{n} \frac{ u_{n,l} \mbox{Im}\left(i^{l+1-k} \right ) + v_{n,l} \mbox{Re}\left(i^{l+1-k} \right ) }{l+1} \right ) \right ) \frac{x^k}{k} \] |
Il ressort des 4 formules du haut que \( P_{n+1} \) est une primitive de \( P_n \), \( Q_{n+1} \) une primitive de \( Q_n \), \( U_{n+1} \) une primitive de \( U_n \), \( V_{n+1} \) une primitive de \( V_n \).
Une autre façon de dire la même chose est :
| \[ \bbox[white, 10px, border: 3px solid black]{ p_{n,k} = \frac{p_{n-k,0}}{k!} } (20p) \] | \[ \bbox[white, 10px, border: 3px solid black]{ q_{n,k} = \frac{q_{n-k,0}}{k!} } (20q) \] | \[ \bbox[white, 10px, border: 3px solid black]{ u_{n,k} = \frac{u_{n-k,0}}{k!} } (20u) \] | \[ \bbox[white, 10px, border: 3px solid black]{ v_{n,k} = \frac{v_{n-k,0}}{k!} } (20v) \] |
Ensuite, les formules donnant les constantes d'intégration \( p_{n+1,0} \) et \( q_{n+1,0} \) où \( P_{n+1}(x) = \int_0^x P_n(t) dt + p_{n+1,0} \) et \( Q_{n+1}(x) = \int_0^x Q_n(t) dt + q_{n+1,0} \) sont visiblement
| \[ \bbox[white, 10px, border: 3px solid black]{ p_{n+1,0} = \sum_{k=1}^{n+1} \frac{ - p_{n,k-1} \mbox{Re} \left (i^{k} \right) + q_{n,k-1} \mbox{Im} \left (i^{k} \right) }{k} } (21p) \] | \[ \bbox[white, 10px, border: 3px solid black]{ q_{n+1,0} = \sum_{k=1}^{n+1} \frac{ - q_{n,k-1} \mbox{Re} \left (i^{k} \right) - p_{n,k-1} \mbox{Im} \left (i^{k} \right) }{k} } (21q) \] |
Partant des triviaux \( p_{0,0} = 1 \) et \( q_{0,0} = 0 \), démontrons par récurrence que pour tout \( n \),
\[ p_{n,0} = \frac{\mbox{Re}\left(i^n\right)}{n!} \] \[ q_{n,0} = \frac{-\mbox{Im}\left(i^n\right)}{n!} \]Compte tenu de \( (20p) \) et \( (20q) \) cela revient à démontrer par récurrence que pour tout \( n \) : pour tout \( k \) allant de \( 0 \) à \( n \),
\[ p_{n,k} = \frac{\mbox{Re}\left(i^{n-k}\right)}{k! (n-k)!} \] \[ q_{n,k} = \frac{-\mbox{Im}\left(i^{n-k}\right)}{k! (n-k)!} \]La propriété est vraie pour \( n = 0 \). Supposons-la vraie pour \( 0, \dots, n \), montrons qu'elle l'est alors encore pour \( n + 1 \). On a :
\[ p_{n+1,0} = \sum_{k=1}^{n+1} \frac{ - p_{n,k-1} \mbox{Re} \left (i^{k} \right) + q_{n,k-1} \mbox{Im} \left (i^{k} \right) }{k} \] \[ p_{n+1,0} = \sum_{k=1}^{n+1} \frac{ - \frac{\mbox{Re}\left(i^{n-(k-1)}\right)}{(k-1)! (n-(k-1))!} \mbox{Re} \left (i^{k} \right) + \frac{-\mbox{Im}\left(i^{n-(k-1)}\right)}{(k-1)! (n-(k-1))!} \mbox{Im} \left (i^{k} \right) }{k} \] \[ p_{n+1,0} = - \sum_{k=1}^{n+1} \frac{ \mbox{Re}\left(i^{n+1-k)}\right) \mbox{Re} \left (i^{k} \right) + \mbox{Im}\left(i^{n+1-k)}\right) \mbox{Im} \left (i^{k} \right) }{k! (n+1-k)!} \]Mais \( \mbox{Re}\left(i^x\right) = \cos \frac{\pi}{2}x \) et \( \mbox{Im}\left(i^x\right) = \sin \frac{\pi}{2}x \), donc
\[ p_{n+1,0} = - \sum_{k=1}^{n+1} \frac{ \cos\left(\frac{\pi}{2} (n+1-k) \right) \cos \left ( \frac{\pi}{2} k \right) + \sin \left( \frac{\pi}{2} (n+1-k) \right) \sin \left ( \frac{\pi}{2} k \right) }{k! (n+1-k)!} \]On applique la formule : \( \cos a \cos b + \sin a \sin b = \cos (a-b) \) dans le sens gauche \( \rightarrow \) droite avec \( a = \frac{\pi}{2} (n+1-k) \) et \( b = \frac{\pi}{2} k \); il vient :
\[ p_{n+1,0} = - \sum_{k=1}^{n+1} \frac{ \cos \left ( \frac{\pi}{2}(n+1-2k) \right ) }{k! (n+1-k)!} \] \[ p_{n+1,0} = - \sum_{k=1}^{n+1} \frac{ (-1)^{k} \cos \left ( \frac{\pi}{2}(n+1) \right ) }{k! (n+1-k)!} \] \[ p_{n+1,0} = - \left ( \sum_{k=1}^{n+1} \frac{ (-1)^{k} }{k! (n+1-k)!} \right ) \cos \left ( \frac{\pi}{2}(n+1) \right ) \] \[ p_{n+1,0} = - \left ( \sum_{k=1}^{n+1} \frac{ (-1)^{k} }{k! (n+1-k)!} \right ) \mbox{Re}\left(i^{n+1}\right) \]Maintenant, la formule du binôme de Newton nous dit que :
\[ (a+b)^{n+1} = \sum_{k=0}^{n+1} \binom{n+1}{k} a^{n-k} b^{k} \]En particulier pour \( a = 1, b = -1 \),
\[ \sum_{k=0}^{n+1} \binom{n+1}{k} (-1)^{k} = 0 \]On en tire
\[ \binom{n+1}{0} (-1)^0 + \sum_{k=1}^{n+1} \binom{n+1}{k} (-1)^{k} = 0 \] \[ - \sum_{k=1}^{n+1} \binom{n+1}{k} (-1)^{k} = 1 \] \[ - \sum_{k=1}^{n+1} \frac{(n+1)!}{k!(n+1-k)!} (-1)^{k} = 1 \] \[ - \sum_{k=1}^{n+1} \frac{(-1)^{k}}{k!(n+1-k)!} = \frac{1}{ (n+1)! } \]D'où
\[ p_{n+1,0} = \frac{\mbox{Re}\left(i^{n+1}\right)}{(n+1)!} \]Le raisonnement est similaire pour établir
\[ q_{n+1,0} = \frac{-\mbox{Im}\left(i^{n+1}\right)}{(n+1)!} \]La propriété est donc vraie pour l'entier \( n + 1 \) et le raisonnement par récurrence est terminé.
En conséquence de quoi,
| \[ \bbox[white, 10px, border: 3px solid black]{ p_{n,k} = \frac{\mbox{Re}\left(i^{n-k}\right)}{n!(n-k)!} } (22p) \] | \[ \bbox[white, 10px, border: 3px solid black]{ q_{n,k} = \frac{-\mbox{Im}\left(i^{n-k}\right)}{n!(n-k)!} } (22q) \] |
De même, on peut établir :
| \[ \bbox[white, 10px, border: 3px solid black]{ u_{n,k} = \frac{\mbox{Im}\left(i^{n-k}\right)}{n!(n-k)!} } (22u) \] | \[ \bbox[white, 10px, border: 3px solid black]{ v_{n,k} = \frac{\mbox{Re}\left(i^{n-k}\right)}{n!(n-k)!} } (22v) \] |
A POURSUIVRE...
\[ r_{n,k} = \dots \] \[ w_{n,k} = \dots \]LR, 12/06/2022.